Part 1: ペアトレードとは何か
第2部：ペアトレードの概要
第3部：結論
1- ペアトレードとは何か
今回のテーマの入門として、裁定取引の概念について書いた別の記事をぜひ読んでいただきたいのですが、この記事ではペアトレードの概念を説明します。
それを踏まえて、裁定取引の定義を正式に紹介しますと、
裁定取引（ポートフォリオ）とは、そこに入るために何も支払わずに、一定のリスクなしのプラスの利益を得るものです。
市場には裁定取引の機会が発生するいくつかの事例が存在します。 私たちが考えるのは、株式間のインスタンスになります。
さて、
1.1 ペア取引とは何でしょう？
ペア取引は2つの要素から構成される戦略です。 A) 類似した動きをし、平均回帰特性を持つ銘柄のペアを識別すること & B) 高値の銘柄を売り、安値の銘柄を買うこと。
もちろん、ペアを識別できること（A）、そしてあらかじめ定義された適切な入口・出口戦略（B）を見つけることがコツです。
この戦略は市場中立戦略として、統計的裁定手法ファミリーに属すことが特徴的です。 市場中立的とは、この戦略が価格動向（上昇または下降）に影響されないことを意味します。これは、ペアの各構成要素がヘッジされている結果です。
ペア取引には3つの主要なアプローチがあります：
- Distance approach
- Stochastic approach
- Cointegration approach
我々が注目するのはCointegration approachです。
1.2 この例・裁定機会はどの程度の頻度で発生しますか
あまり頻繁ではないでしょう。 なぜ頻繁でないのかを理解するためには、そもそもなぜそれが起こるのかを理解する必要があります。 まず第一に、裁定取引の機会は、市場の非効率性、つまり非平衡現象のために発生します。
この非効率性の原因は、情報伝達の遅れなど、さまざまなエラーに起因することがあります。
2- ペア取引の概要
このパートでは、時系列、定常性、共和分、回帰と残差、単位根検定に関する知識を身につけます。
2.1 時系列
時系列とは、発生した時間に従って時系列に並んだデータポイントの集合のことです。 時間は秒、分、時間、日、月、年単位で測定できる。
任意の時系列Y:
Y={Yt:t∈T} ; ここでTは自然数の集合
本来、
t: t₁, t₂, …, tn
Yt.Yt:Yt={Yt:t∈T},
任意の時間系列があると仮定する。 Yt₁, Yt₂, …, Ytn
時系列の例としては、日数で見た株価や年数で見た人口が挙げられる。
Some important characteristics of time series
- トレンド：上昇か下降か?
- Seasonality：定期的に繰り返されるパターンがあるか？
- Random movements：一見不規則に見える性質があるか？
- Stationarity：統計特性が時間とともに変化しないか？
時系列の特徴を明らかにすることによって、我々は重要な情報を実現させることができるモデルを自由に作成または使用することができるのです。
2.2 定常性
簡単に言うと、定常性とは、時系列の平均と分散が一定で、共分散が時間から独立していることを指します。 視覚的には、定常時系列は病的なトレンドや季節性がなく、平坦に見えます。
If a time series is steady, it has an integration of order zero I(0).
ビジュアルで、その系列が定常になるかどうかは推測することができない。 統計的手法の枠組みを利用して、本当に定常かどうかを推論する必要がある。
任意の時系列Ytが定常と定義されるには、3つの条件を満たす必要がある。
- Eがすべてのtについて一定（これは平均回帰を意味する）
- Varがすべてのtについて一定
- Covarがすべてのtについて一定
ある銘柄ペアが高い確率で定常であると特定できれば、そのペアを使ってうまくペアトレード戦略を行うことができるようになるのです。
自己回帰(AR)モデルとは
ランダムプロセスの一種を表現したものです。 私たちの場合、それはランダムウォークになり、ブラウン運動を離散化した近似になります（これは株価のモデルに使用されます）。 これは、出力変数がそれ自身の以前の値と確率変数に線形に依存することを指定します – したがって、それは確率的な差分方程式の形をしています。
これは、
Yt=ρYt-₁+Ɛt ; ここで、Ɛtは独立した正規分布の確率変数である。
上式が1次のARモデルであるため、ラグ（L）が1であると考えることに注意が必要です。
定常時系列とそれぞれの特性には2つの重要な例があります：
- 時間に依存しない
- ホワイトノイズ
2.1 静的時系列の例3 コインテグレーション
Recall,
Time series is stationary, then it has an integration of order zero I(0).
Well then, build on that.See you’re fine.
仮に、（ペアトレードのために）ペアかどうかを識別したい銘柄のペアがあるとします。
時系列をXtを銘柄A、Ytを銘柄Bとします。 これらの時系列はどちらもARモデルです。
Xt=ρXt-₁+Ɛt と Yt=ρYt-₁+Ɛt ; Ɛtは両方の系列で同じとします。
次にこれらの系列を特定の比率で結合すると、ARモデルの非ランダム成分のみからなる新しい系列μtを得ることになるのです。
ここで、より一般的なケースとして、これら2つの時系列がともに1次の積分（I(1)）であり、したがって最初から非定常であるとする。 また、ランダム成分が打ち消されたARモデル（次数1）であることも想定しましょう（確率的トレンド（Ɛt）が共通であるため）-この場合、系列の線形結合により、定常I（0）系列が得られる可能性があります。 これが共和分です。
共和分と相関分の違いとは何か？
コインテグレーションと相関はともに、一緒に動く資産価格を測定して関係を構築することができますが、相関は長期的には破綻しますが、短期の関係を特定するにはある程度堅牢です。 一方、中長期的な取引戦略には、共和分（Cointegration）の方がより適しています。 また、相関はリターンの共動性を特定するために使われることが多く、共和分では価格の共動性を特定します。
Recall this?
私たちが言っていたその統計的特性は、共和分アプローチによる定常性でした。
Cointegration approach for finding pairs
主な考え方は、定常ではないけれども差分することで定常となる（I（1））二つの時系列があるとするものです。 これらの時系列はintegrated (of order one)と呼ばれます。 図2.3.1のように、定常化(I(0))する線形結合が存在するような(1次)積分時系列が存在するのです。
この過程は大きく3つのステップに分けることができる。
- 回帰分析で両株価の自然対数を回帰させ、共和分係数を求める
- 回帰の残差を求める
- 残差が定常かどうかをディッキーフラーテスト（DF）で統計的に検定する
以下のグラフでは、シティグループの過去の株価を取り上げました。 の株価を18年7月20日から19年7月20日まで（日次の頻度）取り出したものです。 Matlabを使用して、以下のグラフを生成しました：
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