Teil 1: Was ist Pairs-Trading?
Teil 2: Ein Überblick über Pairs-Trading
Teil 3: Fazit
1- Was ist Pairs-Trading
Als Einstieg in unser heutiges Thema empfehle ich dringend die Lektüre eines anderen Artikels, den ich über das Konzept der Arbitrage geschrieben habe.
Damit kann ich die Definition von Arbitrage formell als solche einführen:
Eine Arbitrage (Portfolio) ist eine, bei der man nichts bezahlt, um in sie einzusteigen, und bei der man einen bestimmten risikolosen positiven Gewinn erzielt.
Es gibt ein paar Fälle auf dem Markt, in denen Arbitragemöglichkeiten auftreten. Der Fall, den wir betrachten werden, ist ein Inter-Aktien-Fall. Im Wesentlichen bedeutet dies, dass wir eine statistische Eigenschaft zwischen zwei verschiedenen Aktien an derselben Börse ausnutzen werden.
Nun,
1.1 Was ist Paarhandel?
Paarhandel ist eine Strategie, die aus zwei Komponenten besteht: A) Identifizierung eines Paares von Aktien, die sich ähnlich bewegen und mean-reverting Eigenschaften & besitzen.
Der Trick besteht natürlich darin, das Paar zu identifizieren (A) und dann eine geeignete vordefinierte Ein- und Ausstiegsstrategie zu finden (B).
Es wird als eine marktneutrale Strategie charakterisiert, die zur Familie der statistischen Arbitragemethoden gehört. Mit marktneutral ist gemeint, dass diese Strategie nicht von Preistrends (nach oben oder unten) beeinflusst wird – dies ist ein Ergebnis der Absicherung jedes Bestandteils des Paares.
Es gibt drei primäre Ansätze für den Paarhandel:
- Distanzansatz
- Stochastischer Ansatz
- Kointegrationsansatz
Der Ansatz, auf den wir uns konzentrieren werden, ist der Kointegrationsansatz.
1.2 Wie häufig tritt diese Instanz/Arbitragemöglichkeit auf?
Nicht sehr häufig. Um besser zu verstehen, warum sie nicht häufig ist, sollten wir verstehen, warum sie überhaupt auftritt. Zunächst einmal entstehen Arbitragemöglichkeiten aufgrund einer Ineffizienz des Marktes – ein Nicht-Gleichgewichtsphänomen.
Die Ursache dieser Ineffizienz kann eine Reihe von Fehlern sein, wie z.B. eine Verzögerung bei der Informationsweitergabe. In den Anfängen dieser modernen technisch-industriellen (MTI) Zivilisationsform sind Verzögerungen sehr gering, daher sind die seltenen Fälle von Gelegenheiten nur vorübergehend und bestehen nur minimal und für kurze Zeiträume.
2- Ein Überblick über den Paarhandel
In diesem Teil werden wir ein Arbeitswissen über: Zeitreihen, Stationarität, Kointegration, Regression und Residuen sowie Einheitswurzeltests aufbauen.
Dann werden wir dieses Wissen anwenden bei: der Portfoliokonstruktion, der Bildung einer konservativen Handelsstrategie und dem Backtesting.
2.1 Zeitreihen
Eine Zeitreihe ist eine Menge von Datenpunkten, die chronologisch nach dem Zeitpunkt ihres Auftretens angeordnet sind. Zeit kann in Sekunden, Minuten, Stunden, Tagen, Monaten oder Jahren gemessen werden.
Angenommen, es gibt eine beliebige Zeitreihe Y:
Y={Yt:t∈T} ; wobei T die Menge der natürlichen Zahlen
ist,
t: t₁, t₂, …, tn
Yt: Yt₁, Yt₂, …, Ytn
Ein Beispiel für eine Zeitreihe wäre der Kurs einer Aktie über die Zeit in Tagen oder die Bevölkerung über die Zeit in Jahren.
Einige wichtige Merkmale von Zeitreihen
- Trend: ist er aufwärts oder abwärts gerichtet?
- Saisonalität: gibt es regelmäßig wiederkehrende Muster?
- Zufällige Bewegungen: gibt es eine scheinbar unregelmäßige Natur?
- Stationarität: ändern sich die statistischen Eigenschaften nicht im Laufe der Zeit?
Die Charakterisierung von Zeitreihen gibt uns die Freiheit, Modelle zu erstellen oder zu verwenden, die uns wichtige Informationen liefern können. Für den Paarhandel werden wir eines der Merkmale untersuchen, nämlich die Stationarität.
2.2 Stationarität
In einfachen Worten bedeutet Stationarität, dass Mittelwert und Varianz einer Zeitreihe konstant sind und die Kovarianz unabhängig von der Zeit ist. Visuell sieht eine stationäre Zeitreihe flach aus, ohne pathologischen Trend und ohne Saisonalität. Sie ist auch mittelwertumkehrend.
Wenn eine Zeitreihe stationär ist, dann hat sie eine Integration der Ordnung Null I(0).
Wir können nicht aus der Visualisierung ableiten, ob eine Zeitreihe stationär ist. Wir sollten einen Rahmen von statistischen Methoden nutzen, um abzuleiten, ob sie tatsächlich stationär ist.
Es gibt drei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit eine beliebige Zeitreihe Yt als stationär definiert wird:
- E ist für alle t konstant (dies impliziert Mean-Reversion)
- Var ist für alle t konstant
- Covar ist für alle t konstant
Wenn ein Aktienpaar mit hoher Sicherheit als stationär identifiziert werden kann, dann können wir dieses Paar erfolgreich in unserer Paarhandelsstrategie verwenden.
Was ist ein autoregressives (AR) Modell?
Es ist eine Darstellung einer Art von Zufallsprozess. In unserem Fall wird es ein Random Walk sein, der eine Annäherung an die diskretisierende Brownsche Bewegung darstellt (die zur Modellierung von Aktienkursen verwendet wird). Sie gibt an, dass die Ausgangsvariable linear von ihren eigenen vorherigen Werten und einer Zufallsvariablen abhängt – sie hat also die Form einer stochastischen Differenzgleichung.
Dies wird so dargestellt,
Yt=ρYt-₁+Ɛt ; wobei Ɛt eine unabhängige normalverteilte Zufallsvariable ist.
Es ist unbedingt zu beachten, dass es sich bei der obigen Gleichung um ein AR-Modell der Ordnung eins handelt, weshalb wir eine Verzögerung (L) von eins betrachten.
Es gibt zwei wichtige Beispiele für stationäre Zeitreihen und ihre jeweiligen Eigenschaften:
- Hängt nicht von der Zeit ab
- Weißes Rauschen
2.3 Kointegration
Erinnern Sie sich,
Wenn eine Zeitreihe stationär ist, dann hat sie eine Integration der Ordnung Null I(0).
Wir bauen darauf auf.
Angenommen, wir haben ein Aktienpaar, das wir als ein Paar identifizieren möchten oder nicht (zum Zwecke des Paarhandels).
Lassen Sie die Zeitreihe Xt Aktie A und Yt Aktie B sein. Beide Zeitreihen sind AR-Modelle;
Xt=ρXt-₁+Ɛt und Yt=ρYt-₁+Ɛt ; nehmen wir an, dass Ɛt für beide Reihen gleich ist.
Wenn wir dann diese Reihen in einem bestimmten Verhältnis kombinieren, erhalten wir eine neue Reihe μt, die nur aus den nicht zufälligen Komponenten der AR-Modelle besteht.
Nehmen wir nun in einem allgemeineren Fall an, dass diese beiden Zeitreihen beide von der Ordnung eins integriert sind (I(1)) und somit von vornherein nicht stationär sind. Nehmen wir weiter an, dass es sich auch um AR-Modelle (der Ordnung 1) handelt, bei denen die Zufallskomponente ausgelöscht wird (aufgrund gemeinsamer stochastischer Trends (Ɛt)) – dann besteht die Möglichkeit, dass eine Linearkombination der Reihen eine stationäre I(0)-Reihe ergeben würde. Das ist die Kointegration.
Was ist der Unterschied zwischen Kointegration und Korrelation?
Während sowohl die Kointegration als auch die Korrelation Vermögenspreise messen können, die sich gemeinsam bewegen und somit eine Beziehung herstellen, versagt die Korrelation auf lange Sicht, ist aber einigermaßen robust bei der Ermittlung kurzfristiger Beziehungen. Die Kointegration hingegen eignet sich viel besser für mittel- bis langfristige Handelsstrategien. Außerdem werden Korrelationen meist verwendet, um die gemeinsame Bewegung von Renditen zu spezifizieren, während Kointegration die von Preisen spezifiziert.
Erinnern Sie sich daran?
… wir werden eine statistische Eigenschaft zwischen zwei verschiedenen Aktien an derselben Börse ausnutzen.
Die statistische Eigenschaft, auf die wir uns beziehen, ist die Stationarität nach dem Kointegrationsansatz.
Kointegrationsansatz zum Auffinden von Paaren
Die Hauptidee ist, dass wir zwei Zeitreihen haben, die nicht stationär sind, aber durch Differenzbildung stationär werden (I(1)). Diese Zeitreihen werden als integriert (erster Ordnung) bezeichnet. Es gibt integrierte Zeitreihen (erster Ordnung), so dass es eine Linearkombination von ihnen gibt, die stationär wird (I(0)) (wie in Abbildung 2.3.1 zu sehen).
Wir können diesen Prozess in drei Hauptschritte unterteilen:
- Verwenden Sie die Regressionsanalyse, um die natürlichen Logarithmen der beiden Aktienkurse gegeneinander zu regressieren – um den Kointegrationskoeffizienten zu finden
- Berechnen Sie die Residuen aus der Regression
- Testen Sie statistisch, ob die Residuen stationär sind, indem Sie den Dickey-Fuller-Test (DF)
In den folgenden Grafiken haben wir den historischen Kurs der Citigroup Inc. Aktie vom 20.07.18 bis 20.07.19 (tägliche Frequenz). Mit Matlab haben wir die folgenden Diagramme erstellt: