Lukujen siirto eri lukujärjestelmissä
Lukujärjestelmä on kokoelma symboleja (numeroita) ja niiden käyttösääntöjä lukujen esittämiseen. Numerojärjestelmiä on kahdenlaisia. Ei-paikannusjärjestelmä – joitakin kirjaimia käytetään numeroina. Paikannusjärjestelmä – numeroiden määrällinen arvo riippuu sen paikasta merkintänumerossa. Luvun sijaintia kutsutaan vastuuvapaudeksi. Järjestysluku kasvaa oikealta vasemmalle. Erilaisten numeroiden (merkkien) lukumäärää, joita asemanumerojärjestelmässä käytetään lukumäärän esittämiseen (kirjaamiseen), kutsutaan kantaluvuksi.
Homogeeninen järjestelmä – jokaisessa luokassa sallittujen symbolien (numeroiden) joukko on sama. Esimerkkinä käytämme desimaalijärjestelmää. Jos kirjoittaa numeron homogeeninen 10. järjestelmän, on mahdollista käyttää kussakin vastuuvapauden vain yksi numero välillä 0 – 9, joten sallittu määrä 450 (luokka 1. – 0, 2. – 5, 3. – 4), ja 4F5 – ei, koska kirjain F ei sisälly joukko numeroita 0-9.
Miksi numerot pitäisi siirtää järjestelmästä toiseen?
Tehtävien suorittamisessa tietokoneella alkutietojen käyttöönotto ja laskutoimitusten tulosten tulostaminen tapahtuu yleensä käyttäjän toimesta tavanomaisessa desimaalimerkinnässä sitä varten. Kun kuitenkin otetaan huomioon, että valtaosa tietokoneista käyttää binääristä numerojärjestelmää, ilmenee tarve siirtää numeroita yhdestä numerojärjestelmästä toiseen. Lukujen siirto q- ykkösestä desimaalilukuun tulee suoraan tietyn luvun polynomilausekkeesta.
Tämän siirron ydin on peräkkäinen desimaaliluku ja sen tietty jako järjestelmän q radix`s-arvoon. Jako tehdään niin kauan, kunnes seuraava osamäärä ei ole pienempi kuin perusta q. Viimeisellä askeleella laskettu jäännös on siirretyn luvun vanhin (ensimmäinen) numero. Tällaisen luvun siirron tuloksena q-ykköslukujärjestelmässä on viimeisen osamäärän ja kaikkien jäännösten kirjaus käänteisessä järjestyksessä.
Desimaalilukujärjestelmä
Desimaalilukujärjestelmä on kymmenistä tunnetuista luvuista koostuva numeroiden aakkosto, jonka perusta on 10. Numeron sijaintia numerossa kutsutaan vastuuvapaudeksi. Numeron arvoaste nousee oikealta vasemmalle, juniorista senioriin. Desimaalijärjestelmässä oikeanpuoleisimmassa ääriasennossa (sijalla) oleva luku edustaa yksiköiden lukumäärää; yhden sijan verran vasemmalle siirtyneet luvut – kymppien lukumäärää, vielä vasemmalle – satoja, tuhansia, ja niin edelleen. Vastaavasti meillä on yksikköluokka, kymppiluokka ja niin edelleen.
Voidaan käyttää asemanumerojärjestelmien joukkoa, jossa perusta on yhtä suuri tai suurempi kuin 2. Numeroiden muuntamiseksi desimaalijärjestelmästä binäärilukujärjestelmään käytetään niin sanottua ”korvausalgoritmia”, joka koostuu seuraavista jaksoista:
- Jaa desimaaliluku A kahdella. Osamäärä Q muistetaan seuraavaa vaihetta varten, ja jäännös kirjoitetaan binääriluvun vähiten merkitsevänä bittinä.
- Jos osamäärä Q ei ole 0, otetaan se uudeksi osingoksi ja toistetaan vaiheessa 1 kuvattu menettely. Jokainen uusi jäännös (0 tai 1) kirjoitetaan binääriluvun biteiksi LSB:stä (vähiten merkitsevä bitti) vanhimpaan bittiin.
- Algoritmi jatkuu, kunnes saadaan yksityinen Q = 0 ja vaiheiden 1 ja 2 tuloksena oleva jäännös a = 1.
Binäärilukujärjestelmä
Binäärilukujärjestelmää käytetään nykyään lähes kaikissa digitaalisissa laitteissa. Tietokoneet, ohjaimet ja muut laskentalaitteet tekevät laskutoimituksia nimenomaan binäärilukuna. Äänen tallentamiseen ja toistamiseen, valokuvaan ja videoon tarkoitetut digitaaliset laitteet tallentavat ja käsittelevät signaaleja binäärimerkinnöin. Digitaalisten viestintäkanavien kautta tapahtuvassa tiedonsiirrossa käytetään binäärijärjestelmän mallia. Järjestelmä on niin nimetty, koska hänen radix on kaksi (2) tai binäärijärjestelmässä 102 – tämä tarkoittaa, että numeron kuvassa käytetään vain kahta numeroa ”0” ja ”1”.
Kakkonen kirjoitetaan alhaalla oikealla olevasta numerosta, jatkossa merkitään radix. Desimaalijärjestelmässä radiksia ei yleensä ilmoiteta. Jotta binääriluku voidaan muuntaa desimaaliluvuksi, kyseinen luku on kirjoitettava binäärijärjestelmän radiksien` potenssien` summana` tulona binääriluvun riveissä oleville vastaaville luvuille.
Heksadesimaalilukujärjestelmä
Heksadesimaalilukujärjestelmä on suosituin tapa kirjoittaa kompakteja binäärilukuja. Sitä käytetään laajalti digitaalitekniikan suunnittelussa ja kehittämisessä. Kuten nimestä käy ilmi, tämän järjestelmän radix on numero 16 eli 1016 heksadesimaalimerkinnässä. Jotta ei olisi sotkua, kun kirjoitetaan numeroita desimaalijärjestelmästä poikkeavissa kantalukujärjestelmissä, oikealla alhaalla pääkirjoitusnumeroiden alapuolella on määriteltävä radix.
Kymmenen ensimmäistä numeroa on otettu desimaalijärjestelmästä (0, 1, …, …, 8, 9) ja niihin on lisätty kuusi kirjainta (a, b, c, d, e ja f). Heksadesimaaliluvussa 3f7c2 kirjaimet ”f” ja ”c” ovat heksanumeroita. Heksadesimaaliluvun loppuun voidaan hyväksyä kirjain h. Näin heksadesimaaliluvut voidaan erottaa muista numerojärjestelmistä.