Sinulla on kausaalisuuden määritelmä väärin. Se on itse asiassa paljon yksinkertaisempi ja paljon intuitiivisempi. Kausaalinen systeemi on systeemi, jossa ulostulo ei riipu syötteen tulevista arvoista. Tämä ominaisuus ei ole yksinomaan lineaaristen järjestelmien ominaisuus, vaan se voi koskea järjestelmiä yleisesti. Tässä muutama esimerkki asian havainnollistamiseksi:
Kausaalinen lineaarinen ajallisesti muuttumaton systeemi:
$$y = x – 2x + 0.5y$$
Tässä $y$ riippuu vain nykyisistä ja aikaisemmista arvoista $x$ ja $y$.
Ei-kausaalinen lineaarinen ajallisesti muuttumaton systeemi:
$$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$$
Tämä funktio, joka tunnetaan myös nimellä keskeinen liukuva keskiarvo (central moving average), ei ole kausaalinen, koska ulostulon $y$ osalta termi $x$ kurkistelee syötteemme tulevaisuuteen.
Kausaalinen epälineaarinen ajallisesti muuttumaton systeemi:
$$y = \cos(x)$$
Tämä on esittämäsi esimerkki. Kuten olet ehkä jo arvannut, koska emme koskaan katso tulevaa syötettä, tämä systeemi on kausaalinen. Itse asiassa se on vieläkin erikoisempi. Koska tämänhetkinen ulostulo on vain tämänhetkisen syötteen funktio (ei menneiden tai tulevien syötteiden), tätä systeemiä kutsutaan muistittomaksi systeemiksi.
Kausaalinen lineaarinen ajassa muuttuva systeemi:
$$$y = (n+1)x$$
Keksin tämän jonkinlaisena aivojumppana. Ensisilmäyksellä voi vaikuttaa siltä, että tämä systeemi on ei-kausaalinen, koska siinä on tämä $(n+1)$-termi. Mutta sillä ei ole merkitystä, koska se ei ole $x$:n aikaindeksi. Katsomme edelleen vain syötteen nykyistä arvoa emmekä kurkista eteenpäin. Tämä on myös esimerkki muistittomasta systeemistä.
Trikoinen kausaalinen epälineaarinen ajassa muuttuva systeemi:
$$y = e^nx + \ln\left(\left|x\right|+1\right) – \pi y$$
Yksiselitteisesti tämä on selvästikin ei-kausaalinen systeemi $y$-termin takia, eikö? Väärin! Tämä on klassinen rekursiivisen kausaalijärjestelmän määritelmä, jossa muutama termi on järjestetty uudelleen. Siirrämme sen tavanomaisempaan muotoon kolmessa vaiheessa:$$y = e^nx + \ln\left(\left|x\right|+1\right) – \pi y$$$$\pi y = e^nx + \ln\left(\left|x\right|+1\right) – y$$$$\pi y = e^nx + \ln\left(\left|x\right|+1\right) – \pi y = e^nx + \ln\left(\left|x\right|+1\right) – y$$$$y = \frac{e^nx + \ln\left(\left|x\right|+1\right) – y}{\pi}$$
Viimeiseksi toiseksi viimeinen rivi saavutettiin korvaamalla $k=n+1$. Juju tässä on siinä, että eri ajankohtina tapahtuvien ulostulojen välillä on suhteita. Mutta kun se on saatu selville, mikään tuotos ei koskaan riipu syötteen tulevasta arvosta suhteessa itseensä. Epälineaarisuus ja aikavarianssi heitettiin mukaan tekemään siitä hauskempaa ja haastavampaa. Varmista, että ymmärrät, mitä tässä sanotaan.
Kuten näet, kausaliteetti voi olla kaikenlaisten järjestelmien ominaisuus, ja on paljon hauskoja ja omituisia esimerkkejä, joita voi keksiä.
Käydään nyt ratkaisemaan paradoksisi. Avain piilee sen ymmärtämisessä, että kausaliteetin ja lineaarisuuden (ja ehkä myös aika-invarianssin) määritelmänne ovat hieman kietoutuneet ja sekaisin. Paradoksin ratkaiseminen huvittavasti on yhtä helppoa kuin lisätä sana lineaarinen molempiin määritelmiinne (myös aika-invarianssilla on hienoinen rooli). Näin se tapahtuu.
Määritelmä 1: Lineaarinen systeemi on kausaalinen, jos ja vain jos ulostulo $y$ on tulojen $x$ lineaarisen yhdistelmän funktio siten, että $k \ge0$.
Tämä johtuu siitä, että kaikki systeemit eivät ole tulojen lineaarisia yhdistelmiä. Lineaarisia järjestelmiä ovat. Kausaalinen järjestelmä riippuu vain menneistä ja nykyisistä syötteistä, joten kausaalinen lineaarinen järjestelmä on nykyisten ja aiempien syötteiden lineaarinen yhdistelmä. Itse asiassa, jotta määritelmä olisi tarkka, lineaariset järjestelmät ovat lineaarisia yhdistelmiä sekä syötteistä että tuotoksista, ja kausaalisissa lineaarisissa järjestelmissä tuotokset ajankohtana $n$ eivät voi riippua syötteestä ajankohtana $m \gt n$.
Myös,
Määritelmä 2: Lineaarinen ajallisesti muuttumaton systeemi on kausaalinen, jos ja vain jos impulssivaste$h=0$ kaikille $n<0$.
Tämäkin on varsin intuitiivinen. Kaikki $h$:n merkinnät arvolla $k \ge 0$ ovat kertoimia, joilla kerrotaan $x$:n nykyiset ja aiemmat arvot nykyisen ulostulon saamiseksi (sillä, onko järjestelmä rekursiivinen, ei ole merkitystä tässä tapauksessa). Huomaa, että tämä määritelmä on järkevä vain lineaarisille ajallisesti muuttumattomille järjestelmille! Tämä johtuu siitä, että konvoluutio on olemassa vain niille. Katsotaanpa, miksi lineaarisuus on välttämätöntä. Jos $h \ne 0$, niin $x$ vaikuttaa $y$:hen, ja se tekee siitä ei-kausaalisen. Tämä on totta, koska lineaarisissa systeemeissä, jos mikään ei mene sisään, mikään ei mene ulos. Tämä ei yleensä päde epälineaarisiin systeemeihin (kuten antamassasi esimerkissä), joten tämä määritelmä ei päde.
Systeemin on myös oltava ajallisesti muuttumaton, koska sitä ei voida täysin määritellä sen impulssivasteen avulla, ellei se ole täysin LTI. Jos ajetaan impulssifunktio $\delta $ järjestelmän $$$y = x + (n+1)x,$$ läpi, $$saat ulostulon, joka on itse impulssi (kausaalinen… eikö?). Systeemi on kuitenkin selvästi ei-kausaalinen. Tämän vuoksi aika-invarianssi on tärkeää. Kun ajetaan siirtynyttä impulssifunktiota $\delta$ ajalle $m \ne 0$, sen ei-kausaalinen luonne alkaa ilmetä.
Systeemisi on siis täysin kausaalinen, mutta määritelmänne koskevat vain lineaarisia systeemejä, kun taas systeeminne on epälineaarinen. Oikea kausaalisen systeemin määritelmä on, että mikään tuotos $y$ ei voi riippua syötteestä $x$, jossa $k \gt 0$.