Definition af den omvendte Radon-transformation
Funktionen iradoninverterer Radon-transformationen og kan derfor bruges til at rekonstruere billeder.
Som beskrevet i Radon-transformation kan radon-funktionen, givet et billede I og et sæt vinkler theta, bruges til at beregne Radon-transformationen.
R = radon(I,theta);
Funktionen iradon kan derefter kaldes for at rekonstruere billedet I ud fra projektionsdata.
IR = iradon(R,theta);
I ovenstående eksempel beregnes projektionerne ud fra det oprindelige billede I.
Bemærk dog, at der i de fleste anvendelsesområder ikke findes noget originalbillede, hvorfra projektioner dannes. F.eks. anvendes den inverse Radon-transformation almindeligvis i tomografi-applikationer. I røntgenabsorptionstomografi dannes projektioner ved at måle dæmpningen af stråling, der passerer gennem en fysisk prøve under forskellige vinkler. Det oprindelige billede kan opfattes som et tværsnit gennem prøven, hvor intensitetsværdierne repræsenterer prøvens tæthed. Projektionerne indsamles ved hjælp af specialudstyr, hvorefter et internt billede af prøven rekonstrueres af iradon. Dette giver mulighed for ikke-invasiv billeddannelse af det indre af et levende legeme eller et andet uigennemsigtigt objekt.
iradon rekonstruerer et billede ud fra parallelstråleprojektioner. I parallelstrålegeometri dannes hver projektion ved at kombinere et sæt linjeintegraler gennem et billede i en bestemt vinkel.
Den følgende figur illustrerer, hvordan parallelstrålegeometri anvendes i røntgenabsorptionstomografi. Bemærk, at der er lige mange n emittere og n sensorer. Hver sensor måler den stråling, der udsendes fra den tilsvarende emitter, og dæmpningen i strålingen giver et mål for objektets integrerede tæthed eller masse. Dette svarer til det linieintegral, der beregnes i Radon-transformationen.
Den parallelstrålegeometri, der anvendes i figuren, er den samme som den geometri, der blev beskrevet i Radon-transformationen. f(x,y) betegner billedets lysstyrke, og Rθ(x′) er projektionen i vinkel theta.
Parallelstråleprojektioner gennem et objekt
En anden geometri, der ofte anvendes, er viftestrålegeometri, hvor der er én kilde og n sensorer. For yderligere oplysninger, se projektion med viftebjælke. Hvis du vil konvertere parallelstråleprojektionsdata til fan-beam-projektionsdata, skal du bruge funktionen para2fan.
Forbedring af resultaterne
iradon bruger den filtrerede tilbageprojektionsalgoritme til at beregne den omvendte Radon-transformation. Denne algoritme danner en tilnærmelse af billedet I på grundlag af projektionerne i kolonnerne i R. Et mere nøjagtigt resultat kan opnås ved at anvende flere projektioner i rekonstruktionen. Efterhånden som antallet af projektioner (længden af theta) øges, nærmer det rekonstruerede billede IR sig mere nøjagtigt det oprindelige billede I. Vektoren theta skal indeholde monotont stigende vinkelværdier med en konstant inkremental vinkel Dtheta. Når skalaren Dtheta er kendt, kan den overføres til iradon i stedet for arrayet af theta-værdier. Her er et eksempel:
IR = iradon(R,Dtheta);
Den filtrerede bagprojektionsalgoritme filtrerer projektionerne i R og rekonstruerer derefter billedet ved hjælp af de filtrerede projektioner. I nogle tilfælde kan der være støj i projektionerne. For at fjerne højfrekvent støj skal du anvende et vindue på filteret for at dæmpe støjen. Der findes mange sådanne filtre med vindue i iradon. Eksempelopkaldet til iradon nedenfor anvender et Hamming-vindue på filteret. Se iradon-referencesiden for yderligere oplysninger. Hvis du vil have ufiltrerede tilbageprojektionsdata, skal du angive 'none' som filterparameter.
IR = iradon(R,theta,'Hamming');
iradon giver dig også mulighed for at angive en normaliseret frekvens, D, over hvilken filteret har nul respons. D skal være en skalar i intervallet . Med denne indstilling omskaleres frekvensaksen, således at hele filteret komprimeres, så det passer ind i frekvensområdet . Dette kan være nyttigt i tilfælde, hvor projektionerne indeholder lidt højfrekvensinformation, men hvor der er højfrekvent støj. I dette tilfælde kan støjen undertrykkes fuldstændigt, uden at det går ud over rekonstruktionen. Det følgende kald til iradon indstiller en normaliseret frekvensværdi på 0,85.
IR = iradon(R,theta,0.85);