Você tem sua definição de causalidade errada. Na verdade é muito mais simples e muito mais intuitivo. Um sistema causal é um sistema em que a saída não depende de valores futuros da entrada. Esta propriedade não é exclusiva dos sistemas lineares e pode ser aplicada a sistemas em geral. Aqui estão alguns exemplos para ilustrar o ponto:
Sistema linear de tempo variável:
$$$y = x – 2x + 0.5y$$
Aqui $y$ só depende dos valores atuais e anteriores de $x$ e $y$.
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Sistema linear de tempo não causalvariante:
$$$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$$
Tão conhecido como uma média móvel central, esta função é não causal porque para a saída $y$, o termo $x$ espreita o futuro da nossa entrada.
Sistema temporal não linear não variável:
$$$y = \cos(x)$$
Este é o exemplo que você forneceu. Como você já deve ter adivinhado, já que nunca olhamos para uma entrada futura, este sistema é causal. Na verdade, é ainda mais especial do que isso. Porque a saída atual é uma função apenas do input atual (não de inputs passados ou futuros) este sistema é chamado de sistema sem memória.
Sistema linear temporal variável:
$$y = (n+1)x$$
Fiz este para ser um pouco de um brainteaser. À primeira vista, pode parecer que este sistema não é uma causa, porque existe este termo $(n+1)$. Mas isto não importa porque não é um índice de tempo de $x$. Nós ainda só olhamos para o valor atual do input e não estamos espreitando à frente. Este também é um exemplo de um sistema sem memória.
Um sistema não linear de variação temporal causal complicado:
$$y = e^nx + \ln\left(\left|x\ right|+1\right) – \pi y$$
Claramente, claramente este é um sistema não causal por causa do termo $y$, certo? Errado! Esta é uma definição clássica de um sistema causal recursivo com alguns termos reordenados. Nós procedemos para trazê-lo para uma forma mais padrão em três passos:$$y = e^nx + ^nx + {\i1}esquerda(esquerda|xdireita|+1{\i1}direita) – y_pi y$$$${\i y = e^nx + ^ln_esquerda(esquerda|xdireita|+1{\i}- y$$$${\i}- y$$$${\i} y = e^nx + ^lnesquerda(esquerda|xdireita|+1{\i} y$$$$y = ^frac{e^nx + ^ln{esquerda_esquerda_x+1{direita) – y}{\pi}$$
Segundo à última linha foi alcançado substituindo $k=n+1$. O truque aqui é que existe uma relação entre as saídas em momentos diferentes. Mas, uma vez que se trabalha, nenhum output depende do valor futuro de um input em relação a si mesmo. A não-linearidade e a variação de tempo foram lançadas para torná-lo mais divertido e desafiador. Certifique-se de entender o que este diz.
Como você pode ver a causalidade pode ser uma propriedade de todos os tipos de sistemas e há muitos mais exemplos divertidos e bizarros que você pode inventar.
Agora vamos resolver o seu paradoxo. A chave está em perceber que as suas definições de causalidade e linearidade (e talvez também de variação no tempo) estão um pouco enredadas e confusas. Resolver o paradoxo de forma divertida é tão fácil quanto adicionar a palavra linear em ambas as suas definições (a variação no tempo também desempenhará um papel sutil). Aqui está como.
Definição 1: Um sistema linear é causal se e somente se a saída $y$ for afunção de uma combinação linear de inputs $x$ tal que $k \ge0$.
Isto é porque nem todos os sistemas são combinações lineares de inputs. Os sistemas lineares são. Um sistema causal depende apenas de inputs passados e atuais, portanto um sistema linear causal é uma combinação linear de inputs atuais e anteriores. Na verdade, para ser preciso com a definição, sistemas lineares são combinações lineares de entradas e saídas, e em sistemas lineares causais as saídas no momento $n$ não podem depender de uma entrada no momento $m \gt n$.
Também,
Definição 2: Um sistema linear de tempo variável é causal se e somente se a resposta ao impulso$h=0$ para todos os $n<0$.
Esta também é bastante intuitiva. Todas as entradas de $h$ para $k \ge 0$ são os coeficientes com os quais você multiplica os valores atuais e passados de $x$ para obter a saída atual (se o sistema é recursivo é irrelevante para este caso). Note que esta definição só faz sentido para sistemas lineares com variação no tempo! Isso ocorre porque a convolução só existe para esses. Vamos ver porque a linearidade é necessária. Se você tem $h \ne 0$, então $x$ está contribuindo para $y$ e é isso que o torna não causal. Isto é verdade porque em sistemas lineares, se nada entra, então nada sai. Isto não é geralmente verdade para sistemas não lineares (como no exemplo que você deu), então esta definição não se aplicaria.
O sistema também precisa ser invariável no tempo porque ele não pode ser completamente definido pela sua resposta de impulso, a menos que esteja cheio de LTI. Se você executar uma função de impulso $\delta $ através do sistema$$y = x + (n+1)x,$$ você vai obter uma saída que é um impulso em si (causal… certo?). No entanto, o sistema é claramente não causal. É por isso que a variação no tempo é importante. Quando você executa uma função de impulso deslocado $\delta$ por $m \ne 0$, sua natureza não-causal começa a se manifestar.
Então, todos falando de lado, seu sistema é perfeitamente causal, mas suas definições só se aplicam a sistemas lineares, enquanto seu sistema é não-linear. A definição correta de um sistema causal é que qualquer saída $y$ não pode depender da entrada $x$ onde $k \gt 0$.