Masz złą definicję przyczynowości. Jest ona w rzeczywistości dużo prostsza i dużo bardziej intuicyjna. System przyczynowy to taki system, w którym wynik nie zależy od przyszłych wartości danych wejściowych. Ta własność nie jest wyłączną własnością systemów liniowych i może mieć zastosowanie do systemów w ogóle. Oto kilka przykładów ilustrujących ten punkt:
System przyczynowy liniowy niezmienny w czasie:
$y = x – 2x + 0.5y$$
Tutaj $y$ zależy tylko od obecnych i poprzednich wartości $x$ i $y$.
Nie przyczynowy liniowy układ niezmienniczy w czasie:
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$$
Znana również jako centralna średnia ruchoma, funkcja ta jest nie przyczynowa, ponieważ dla danych wyjściowych $y$, człon $x$ zagląda w przyszłość naszych danych wejściowych.
Przyczynowy nieliniowy system niezmienny w czasie:
$y = $x$
To jest przykład, który podałeś. Jak być może już się domyśliłeś, ponieważ nigdy nie patrzymy na przyszłe dane wejściowe, ten system jest przyczynowy. W rzeczywistości jest nawet bardziej wyjątkowy niż to. Ponieważ bieżące wyjście jest funkcją tylko bieżącego wejścia (a nie przeszłych lub przyszłych wejść), ten system nazywamy systemem bez pamięci.
Przyczynowy liniowy system zmienny w czasie:
$y = (n+1)x$$
Ten przykład wymyśliłem, aby był swego rodzaju łamigłówką. Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że ten system nie jest przyczynowy, ponieważ istnieje ten $(n+1)$ człon. Ale to nie ma znaczenia, ponieważ nie jest to indeks czasowy $x$. Nadal patrzymy tylko na aktualną wartość wejścia i nie wybiegamy w przyszłość. Jest to również przykład układu bez pamięci.
Trudny przyczynowy nieliniowy układ zmienny w czasie:
$y = e^nx + ^nx(^left|x|prawo|+1_prawo) – ^pi y$$
Wyraźnie widać, że jest to układ nie przyczynowy z powodu członu $y$, prawda? Nieprawda! Jest to klasyczna definicja rekurencyjnego systemu przyczynowego z kilkoma zmienionymi terminami. Przechodzimy do bardziej standardowej postaci w trzech krokach:$$y = e^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx + ^nx y$$$$y = \frac{e^nx + \ln\left(\left|x\right|+1\right) – y}{\pi}$$
Druga przedostatnia linia została osiągnięta przez podstawienie $k=n+1$. Sztuczka tutaj polega na tym, że istnieje zależność między wyjściami w różnych czasach. Ale kiedy już to rozpracujesz, żadne wyjście nigdy nie zależy od przyszłej wartości wejścia względem siebie. Nieliniowość i zmienność w czasie zostały wrzucone, żeby było zabawniej i trudniej. Upewnij się, że rozumiesz, co to mówi.
Jak widzisz, przyczynowość może być własnością wszystkich rodzajów systemów i jest wiele innych zabawnych i dziwacznych przykładów, które można wymyślić.
Teraz przejdźmy do rozwiązania twojego paradoksu. Klucz leży w uświadomieniu sobie, że twoje definicje przyczynowości i liniowości (i być może także niezmienności w czasie) są nieco splątane i pomieszane. Zabawne rozwiązanie paradoksu jest tak proste, jak dodanie słowa linearny do obu twoich definicji (niezmienniczość czasowa również odegra subtelną rolę). Oto jak.
Definicja 1: System liniowy jest przyczynowy wtedy i tylko wtedy, gdy wyjście $y$ jest funkcją liniowej kombinacji wejść $x$ takich, że $k ∗ge0$.
Jest tak dlatego, że nie wszystkie systemy są liniowymi kombinacjami wejść. Systemy liniowe są. System przyczynowy zależy tylko od przeszłych i bieżących danych wejściowych, dlatego przyczynowy system liniowy jest liniową kombinacją bieżących i poprzednich danych wejściowych. Właściwie, aby być dokładnym z definicją, systemy liniowe są liniowymi kombinacjami zarówno wejść jak i wyjść, a w przyczynowych systemach liniowych wyjścia w czasie $n$ nie mogą zależeć od wejścia w czasie $m \t n$.
Także,
Definicja 2: Liniowy system niezmienny w czasie jest przyczynowy wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiedź impulsowa$h=0$ dla wszystkich $n<0$.
Ta również jest dość intuicyjna. Wszystkie wpisy $h$ dla $kge 0$ są współczynnikami, z którymi mnożysz bieżące i przeszłe wartości $x$, aby uzyskać bieżące wyjście (to, czy system jest rekurencyjny, jest nieistotne w tym przypadku). Zauważmy, że ta definicja ma sens tylko dla liniowych systemów niezmiennych w czasie! Dzieje się tak dlatego, że konwolucja istnieje tylko dla nich. Zobaczmy, dlaczego liniowość jest konieczna. Jeśli mamy $h = 0$, to $x$ przyczynia się do $y$ i to właśnie czyni go nie przyczynowym. Jest to prawdą, ponieważ w systemach liniowych, jeśli nic nie wchodzi, to nic nie wychodzi. To nie jest ogólnie prawdziwe dla systemów nieliniowych (jak w przykładzie, który podałeś), więc ta definicja nie będzie miała zastosowania.
System musi być również zmienny w czasie, ponieważ nie może być całkowicie zdefiniowany przez odpowiedź impulsową, chyba że jest w pełni LTI. Jeśli przepuścisz funkcję impulsową $delta $ przez system $$y = x + (n+1)x,$$ otrzymasz wyjście, które samo jest impulsem (przyczynowo… prawda?). Jednakże, system jest wyraźnie nie przyczynowy. Dlatego właśnie ważna jest niezmienniczość czasowa. Kiedy uruchomisz przesuniętą funkcję impulsową $delta$ dla $m 0$, jej nie przyczynowa natura zaczyna się manifestować.
Więc, cała ta gadanina na bok, twój system jest doskonale przyczynowy, ale twoje definicje odnoszą się tylko do systemów liniowych, podczas gdy twój system jest nieliniowy. Poprawna definicja systemu przyczynowego jest taka, że każde wyjście $y$ nie może zależeć od wejścia $x$, gdzie $k jest 0$.
.