Definizione della trasformazione di Radon inversa
La funzione iradon inverte la trasformata di Radon e può quindi essere usata per ricostruire immagini.
Come descritto in Trasformata di Radon, data un’immagine I e un insieme di angoli theta, la funzione radon può essere usata per calcolare la trasformata di Radon.
R = radon(I,theta);
La funzione iradon può quindi essere chiamata per ricostruire l’immagine I dai dati di proiezione.
IR = iradon(R,theta);
Nell’esempio precedente, le proiezioni sono calcolate dall’immagine originale I.
Nota, tuttavia, che nella maggior parte delle aree di applicazione, non esiste un’immagine originale da cui si formano le proiezioni. Per esempio, la trasformata di Radon inversa è comunemente usata nelle applicazioni di tomografia. Nella tomografia ad assorbimento dei raggi X, le proiezioni sono formate misurando l’attenuazione della radiazione che passa attraverso un campione fisico ad angoli diversi. L’immagine originale può essere pensata come una sezione trasversale attraverso il campione, in cui i valori di intensità rappresentano la densità del campione. Le proiezioni sono raccolte usando un hardware speciale, e poi un’immagine interna del campione viene ricostruita da iradon. Questo permette un imaging non invasivo dell’interno di un corpo vivente o di un altro oggetto opaco.
iradon ricostruisce un’immagine dalle proiezioni a fasci paralleli. Nella geometria a fasci paralleli, ogni proiezione è formata combinando una serie di integrali di linea attraverso un’immagine ad un angolo specifico.
La figura seguente illustra come la geometria a fasci paralleli è applicata nella tomografia ad assorbimento dei raggi X. Si noti che c’è un numero uguale di n emettitori e n sensori. Ogni sensore misura la radiazione emessa dal suo emettitore corrispondente, e l’attenuazione nella radiazione dà una misura della densità integrata, o massa, dell’oggetto. Questo corrisponde all’integrale di linea che è calcolato nella trasformata di Radon.
La geometria a fasci paralleli usata nella figura è la stessa che è stata descritta nella trasformata di Radon. f(x,y) denota la luminosità dell’immagine e Rθ(x′) è la proiezione ad angolo theta.
Proiezioni a fascio parallelo attraverso un oggetto
Un’altra geometria comunemente usata è la geometria a ventaglio, in cui c’è una sorgente e n sensori. Per maggiori informazioni, vedere Proiezione a ventaglio. Per convertire i dati della proiezione a fasci paralleli in dati della proiezione a ventaglio, usa la funzione para2fan.
Miglioramento dei risultati
iradon usa l’algoritmo della retroproiezione filtrata per calcolare la trasformazione inversa di Radon. Questo algoritmo forma un’approssimazione dell’immagine I basata sulle proiezioni nelle colonne di R. Un risultato più accurato può essere ottenuto usando più proiezioni nella ricostruzione. Man mano che il numero di proiezioni (la lunghezza di theta) aumenta, l’immagine ricostruita IR approssima più accuratamente l’immagine originale I. Il vettore theta deve contenere valori angolari monotonicamente crescenti con un angolo incrementale costante Dtheta. Quando lo scalare Dtheta è noto, può essere passato a iradon invece dell’array di valori theta. Ecco un esempio.
IR = iradon(R,Dtheta);
L’algoritmo di retroproiezione filtrata filtra le proiezioni in R e poi ricostruisce l’immagine usando le proiezioni filtrate. In alcuni casi, il rumore può essere presente nelle proiezioni. Per rimuovere il rumore ad alta frequenza, applica una finestra al filtro per attenuare il rumore. Molti di questi filtri con finestra sono disponibili in iradon. La chiamata di esempio a iradon qui sotto applica una finestra di Hamming al filtro. Vedi la pagina di riferimento di iradon per maggiori informazioni. Per ottenere dati di retroproiezione non filtrati, specifica 'none' per il parametro del filtro.
IR = iradon(R,theta,'Hamming');
iradon ti permette anche di specificare una frequenza normalizzata, D, oltre la quale il filtro ha risposta zero. D deve essere uno scalare nell’intervallo . Con questa opzione, l’asse delle frequenze viene riscalato in modo che l’intero filtro sia compresso per entrare nell’intervallo di frequenze . Questo può essere utile nei casi in cui le proiezioni contengono poche informazioni ad alta frequenza ma c’è del rumore ad alta frequenza. In questo caso, il rumore può essere completamente soppresso senza compromettere la ricostruzione. La seguente chiamata a iradon imposta un valore di frequenza normalizzato di 0,85.
IR = iradon(R,theta,0.85);