Számok átvitele különböző számrendszerekben
A számrendszer a szimbólumok (számjegyek) és a számok ábrázolására szolgáló szabályaik gyűjteménye. Kétféle számrendszer létezik. Nem pozicionális rendszer – egyes betűket használnak számjegyként. Pozicionális rendszer – a számok mennyiségi értéke a beírási számban elfoglalt helyétől függ. A szám pozícióját kisülésnek nevezzük. A rangszám jobbról balra haladva növekszik. A pozicionális számrendszerben a különböző számjegyek (karakterek) számát, amelyeket a szám ábrázolására (bejegyzésére) használnak, bázisnak nevezzük.
A homogén rendszer – minden kategóriában a megengedett szimbólumok (számjegyek) halmaza azonos. Példaként a tízes számrendszert használjuk. Ha írni a számot a homogén a 10. rendszer, akkor lehet használni minden mentesítés csak egy számjegyet a tartományban 0 – 9, így megengedett szám 450 (osztály 1. – 0, 2. – 5, 3. – 4), és 4F5 – nem, mivel az F betű nem szerepel a számjegyek halmazában 0-tól 9-ig.
Miért kell a számokat egyik rendszerből a másikba átvinni?
A számítógépen végzett feladatok gyakorlása során a kiindulási adatok bevezetése és a számítások eredményeinek kiadása általában a felhasználó által a szokásos decimális jelöléssel történik. Tekintettel azonban arra, hogy a számítógépek túlnyomó többsége bináris számrendszert használ, felmerül az igény a számok átvitelére egyik számrendszerből a másikba. A számok átvitele q-ból a tizedes számrendszerbe közvetlenül egy adott szám polinomkifejezéséből származik.
Az átvitel lényege egy soros tizedes szám és annak adott osztása a rendszer q radix`s értékével. Az osztás addig történik, amíg a következő hányados nem kisebb, mint a q bázis. Az utolsó lépésben kiszámított maradék az átvitt szám legrégebbi (első) számjegye. A szám ilyen átvitelének eredménye a q-egy számrendszerben az utolsó hányados és az összes maradék fordított sorrendben történő feljegyzése.
Decimális számrendszer
A decimális számrendszer a számjegyek ábécéje, amely tíz ismert számból áll, bázisa pedig 10-es. A számjegyek pozícióját a számban kisülésnek nevezzük. A szám rangja jobbról balra, az ifjabbtól a rangidősök felé haladva növekszik. A tízes számrendszerben a jobb szélső pozícióban (rangban) lévő számjegy az egységek számát jelenti; az egy pozícióval balra eltolt számjegyek – a tízesek számát, még balra – a százakét, ezrekét, és így tovább. Ennek megfelelően van az egységek kategóriája, tízes rang, és így tovább.
Használható a pozicionális számrendszerek halmaza, ahol az alap egyenlő vagy nagyobb, mint 2. A számok decimális számrendszerből bináris számrendszerbe való átváltásához használjuk az úgynevezett “cserealgoritmust”, amely a következő sorozatokból áll:
- A decimális számot A osztjuk 2-vel. A Q hányadost megjegyezzük a következő lépéshez, és a maradékot egy bináris szám legkisebb értékű bitjeként írjuk fel.
- Ha a Q hányados nem egyenlő 0-val, vegyük új osztónak, és ismételjük meg az 1. lépésben leírt eljárást. Minden új maradékot (0 vagy 1) a bináris szám bitjeibe írunk, az LSB-től (legkevésbé jelentős bit) a legidősebb felé haladva.
- Az algoritmus addig folytatódik, amíg megkapjuk a privát Q = 0, és az 1. és 2. lépésből eredő a = 1 maradékot.
Bináris számrendszer
A bináris számrendszert ma már gyakorlatilag minden digitális eszközben használják. A számítógépek, vezérlők és más számítástechnikai eszközök pontosan bináris számrendszerben végzik a számításokat. A hangrögzítés és -lejátszás, a fotó és videó digitális eszközei bináris jelölésrendszerben tárolják és dolgozzák fel a jeleket. A digitális kommunikációs csatornákon keresztül történő információátvitel a bináris rendszer modelljét használja. A rendszer azért kapta ezt a nevet, mert a radixa kettő (2), vagy bináris rendszerben 102 – ez azt jelenti, hogy a számképhez csak két számjegyet, a “0”-t és az “1-et” használják.
A számtól jobbra lent leírt kettes, a továbbiakban a radixot jelöljük. A decimális rendszerben a radixot általában nem jelölik. Ahhoz, hogy a bináris számot decimálissá alakítsuk át, azt a számot a bináris rendszerben a bináris szám soraiban lévő megfelelő számjegyeknek a radixok “hatványok” szorzataként kell felírni.
Hexadecimális számrendszer
A hexadecimális számrendszer a legelterjedtebb módja a kompakt bináris számjegyek rögzítésének. Széles körben használják a digitális technológia tervezésében és fejlesztésében. Mint a neve is mutatja, ennek a rendszernek a radixa a 16-os szám vagy a hexadecimális jelölésben az 1016-os szám. Így nem volt zűrzavar, amikor a decimális számrendszertől eltérő pozicionális számrendszerben számokat írunk, a fő beviteli számoktól jobbra alul a radixot kell megadni.
Az első tíz számot a decimális rendszerből vesszük (0, 1, …, 8, 9), és hat betűt (a, b, c, d, e és f) adunk hozzá. A 3f7c2 hexadecimális számban az “f” és a “c” betűk hexa számjegyek. A hexadecimális szám végén a h betű fogadható el. Így lehet megkülönböztetni a hexadecimális számokat más számrendszerektől.