Modeller och strategier för tvåsiffrig addition och subtraktion

Den andra klassen är ett mycket viktigt år då eleverna utvecklar sin förmåga att addera och subtrahera med tvåsiffriga tal. Det är året då vi arbetar med en mängd additions- och subtraktionsstrategier som eleverna kan använda för att lösa problem. Vi ägnar mycket tid åt att diskutera en mängd olika strategier, använda många olika modeller och göra mental matematik.

Varför? För att utveckla elevernas flexibilitet när de löser matematiska problem.

Den gemensamma kärnstandarden för tvåsiffrig addition &subtraktion är:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.5
Att addera och subtrahera inom 100 med hjälp av strategier baserade på platsvärde, operationsegenskaper och/eller förhållandet mellan addition och subtraktion.

Och standarden för tresiffrig addition och subtraktion, för att visa vart vi är på väg:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.7
Addera och subtrahera inom 1 000 med hjälp av konkreta modeller eller ritningar och strategier baserade på platsvärde, operationsegenskaper och/eller förhållandet mellan addition och subtraktion; relatera strategin till en skriftlig metod. Förstå att när man adderar eller subtraherar tresiffriga tal adderar eller subtraherar man hundratal och hundratal, tiotal och tiotal, ettor och ettor; och ibland är det nödvändigt att komponera eller dekomponera tiotal eller hundratal.

Ingenstans i dessa två standarder sägs något om den standardalgoritm som vi alla har lärt oss i skolan (troligen med språket ”bära” och ”låna”), och standardalgoritmen tas inte heller upp direkt i Second Grade Common Core Standards. Läs till slutet för att ta reda på hur jag tar upp standardalgoritmen i vårt klassrum.

Är du intresserad av en kostnadsfri sampler av några av mina produkter för tvåsiffrig addition och subtraktion?

Strategier vs. modeller

Om du är bekant med mina Additions- &Subtraktionsordproblem har du kanske lagt märke till att jag gör stor skillnad mellan de strategier som används när man löser problem och de modeller som eleverna använder med dessa strategier.

Strategier är vanligtvis hur eleverna närmar sig och manipulerar siffrorna. Modeller är hur strategierna organiseras på papper så att eleverna kan förklara eller se strategin.

När jag tittar på standarderna ovan kan jag se att strategierna är tydligt noterade i standarden:

I 2.NBT.B.5. och strategierna är:

• placeringsvärde
• operationsegenskaper
• samband mellan addition och subtraktion

Standard 2.NBT.B.7 noterar även att modellerna eller ritningarna (som jag också kallar modeller) är skilda från strategierna som baseras på:

• placeringsvärde
• operationsegenskaper
• samband mellan addition och subtraktion

Som du kan se är strategierna tydligt beskrivna i standarderna. Inom var och en av ovanstående allmänna strategikategorier finns det verkligen många olika strategier som eleverna kan använda och du kan märka dem som du vill i ditt klassrum. Jag gillar att märka dem med elevernas namn som en enkel referens. På så sätt kan vi hänvisa till Samanthas strategi när vi löser ett problem. Eller så kan du märka strategin med den åtgärd som eleven gör i problemet (till exempel: Add Tens First).

Hur som helst gör jag ändå skillnad mellan strategin och modellen. Varför? Därför att eleverna kan använda flera strategier med en modell. Det finns inget rätt sätt att använda modellen, så länge eleven kan förklara sitt tänkande. Modellerna (eller ritningarna) ger bara eleverna ett verktyg för att förklara sitt tänkande på papper eller med manipulatorer. Tänkandet, eller vad eleverna gör med siffrorna, är strategin. Det de använder för att visa det för dig är modellen.

I ärlighetens namn är jag inte alltid konsekvent när det gäller att beteckna något som en strategi eller en modell. Jag försöker vara det, men precis som du är jag mänsklig och blandar ibland ihop dem, särskilt när jag är i stunden med eleverna. Det är en inlärningsprocess och något som jag ständigt reflekterar över genom åren. Allt detta för att säga att du kanske ser några saker som är märkta på ett sätt och ifrågasätter dess märkning. Varsågod och ifrågasätt det, tänk på det, fundera över det och ta reda på om det är korrekt eller inte. Allt detta är fortfarande nytt för många av oss.

Här är några ankardiagram som jag har använt de senaste åren och som illustrerar några av nedanstående modeller och strategier.

Modeller för tvåsiffrig addition

Nedan följer några modeller som vi använder för att göra tvåsiffrig addition eller subtraktion. Är detta de enda modellerna du kan använda? Nej, detta är inte en uttömmande lista. De är vad jag har funnit användbara i klassrummet för eleverna att öva och använda för att bygga upp begreppsförståelse och taluppfattning.

Nummerlinjer för tvåsiffrig addition och subtraktion

Jag brukar börja med nummerlinjer när jag introducerar eleverna till papper/penna-modeller. En öppen tallinje är mycket flexibel. Eleverna kan göra hopp av ett eller tio (eller mer) och lätt manipulera den för att visa sitt matematiska tänkande.

Jag brukar hjälpa eleverna att komma till närmaste 10-tal, eller vänskapstal eller riktmärke när jag använder en tallinje eftersom det är lättare att göra hopp på 10-tal. Det är ett exempel på skillnaden mellan en modell och en strategi. Modellen är tallinjen. Strategin är att göra hopp på 10.

Undervisning i hur man använder tallinjer när man använder 10 för att addera +9 och +8 fakta, befäster denna strategi när eleverna adderar större tvåsiffriga tal.

Håll dig i minnet att tallinjen är modellen och att den kan användas med en mängd olika strategier. Att modellera och öva på att använda en tallinje med enklare problem kommer att hjälpa eleverna när de använder en tallinje med svårare problem.

En av de dagliga aktiviteter som vi gör med tallinjer är vår dagliga matematik. Detta är ett whiteboardark som vi går igenom dagligen. Talslinjen längst ner hjälper eleverna att befästa sin förståelse för både hur man använder en tallinje och hur man ”gör 100 eller gör 1000”.

Här är några fler exempel på hur vi använder tallinjer i klassrummet.

Detta är från min Roll & Spin Math Stations. I den här aktiviteten övar eleverna på att göra hopp på 10 och 100 uppför en tallinje.

Det finns också versioner där eleverna subtraherar 10 och 100 nedför en tallinje. En av de färdigheter som eleverna behöver för att lyckas på tallinjer är förmågan att göra hopp av 10 och 100.

Detta är ett exempel från ett av våra Additions & Subtraktionsordproblem där eleverna var tvungna att räkna ut ett separat okänt startproblem. Den här eleven började på 15 och räknade 35 hopp och tog sedan bort ett i slutet. Detta är också ett bra exempel på kompensation (se nedan) eftersom eleven lade till en till 34 för att göra det lättare att hoppa och sedan tog bort den i slutet.

Detta är från min Second Grade Cut & Paste Math Activities. I den här aktiviteten övar eleverna på att addera genom att börja med det minsta talet och räkna ut vem som ska komma till det större talet genom att hoppa till de vänliga talen. Den här eleven började på 19, hoppade till 20, gjorde sedan hopp på 10 till 60 och gjorde ett hopp på 3. Eleven lade ihop sina hopp för att få 44.

Ovanstående är några exempel från mina Matematikstationer för tvåsiffrig addition. Mina elever behövde mer direkt övning med tallinjer och att göra hopp, trots all övning i helgrupp. Så jag gav dem anvisningarna och eleverna följde dem på tallinjerna.

En nyare resurs som jag har utvecklat för att hjälpa eleverna att utveckla talflytande är resursen Make 100 and Make 1000. Den innehåller många aktiviteter där eleverna får öva på att göra 100 och 1000. Nummerrader är en av aktiviteterna.

Jag har också ett helt blogginlägg om hur man använder en tallinje med ännu fler exempel på hur man kan utveckla tallinjens flyt i klassrummet.

Base-10 block

Base-10 block är en annan modell som jag lär eleverna att använda, men jag lär i allmänhet eleverna att rita base-10 block. Vi använder visserligen riktiga skumklossar i klassen, men jag försöker att gå ifrån dem så snabbt som möjligt.

Varför? Eleverna kommer alltid att ha penna och papper för att lösa problem, men de kommer inte alltid att ha manipulerande material tillgängligt. Att använda bas-10 block tar också mycket tid i anspråk. Jag har inget emot att spendera tid på dem, för elever som behöver dem, men jag vill också driva eleverna mot effektivare verktyg.

Här är några exempel på hur vi använder bas-10-klossar:

De två ovanstående använder sig av bas-10 block genom att rita ut tiorna som ”pinnar” som vi kallar dem i vårt klassrum. Just de här eleverna hade svårt att räkna över 100 i tiotal, så jag lät dem rita varje tal i tiotal, sedan räkna i tiotal tills de kom till 100, och sedan börja om med att räkna i tiotal igen. Detta hjälpte dem inte bara att räkna upp tal över 100, utan det gav dem också en större kostnad för vårt talsystem i bas 10.

Exemplet ovan är från mina Two-Digit Addition Math Stations igen och är bara ett grundläggande problem – svarsmatchning med bas-10 blockrepresentationer.

The Number Line blogginlägget har också en intressant visuell aktivitet för att hjälpa eleverna att övergå från bas-10 block till nummerrader.

Strategier för tvåsiffrig addition

Som nämnts ovan är de tre viktigaste strategierna som anges i standarderna:

• placeringsvärde
• operationsegenskaper
• samband mellan addition och subtraktion

Nedan följer några strategier som vi använder för att lösa tvåsiffriga additionsproblem. De flesta av dem är baserade på platsvärdesstrategier eftersom jag tycker att dessa tenderar att vara lättare för eleverna att förstå och tillämpa. Återigen, dessa är hur eleverna manipulerar siffrorna i problemet för att göra det lättare att lösa.

Ingen strategi är den ”rätta” strategin för varje elev för varje problem. Vissa problem lämpar sig för vissa strategier på grund av siffrorna. Eleverna kan också växla mellan strategier inom samma problem, beroende på hur de manipulerar siffrorna. Det viktigaste att titta efter är om eleven kan förklara sitt tänkande när han eller hon löser ett problem.

Bryt isär eller avgruppera (platsvärde)

Denna strategi kräver lite mer övning i mental matematik, men den kan vara så kraftfull. Den grundläggande idén är att talet delas upp i tior och ettor och sedan, antingen med hjälp av en tallinje, bas-10-klossar eller bara siffror, manipulerar eleverna bitarna för att addera eller subtrahera talen.

Att bryta upp talet i delar eller att avgruppera det hjälper eleverna att se värdet av platsvärde. Tioersplatsen är inte bara 4. Dess värde är 40 eller 4 tior.

En resurs som hjälper till att utveckla den här strategin är boken Number Talks (affilierad länk). Vi gör talsamtal under hela året, börjar med additionsfakta och går över till tvåsiffrig addition och subtraktion i slutet av året. Jag älskar att se de strategier som mina elever kan komma på! Boken Number Talk är också en bra bok som hjälper till att utveckla lyssnarförmågan.

Tänk på problemet 64-47. Eleverna delar upp problemet i 50+14-7-40 och tar bort delarna efter platsvärde. Jag skulle förmodligen börja med 14-7, men eleverna kan börja var som helst som är vettigt för dem.

Exemplen ovan kommer från mina Matematiska stationer för tvåsiffrig addition och illustrerar hur eleverna kan bryta isär tal och addera varje platsvärde. Att bryta isär kallas också för att avgruppera eller sönderdela, beroende på vilket matteprogram du använder.

Märkte du att i ett av problemen ovan adderade eleven 60 +40 och fick 106, men han skrev ändå rätt svar på problemet? Vad tror du att det var som hände med den här eleven? Kan du då att han inte kunde addera 60+40, gjorde ett dumt misstag, eller finns det någon annan anledning till att han skrev 106? Att se eleverna interagera med dessa typer av strategier ger dig en plats för att starta samtal med dem om deras matematiska tänkande.

Ett exempel till från några Additionsuppgiftskort där eleverna bara bryter isär det andra talet och sedan gör hopp av 10 och 1 med hjälp av 100- och 1000-tabeller. Även om vi ger eleverna mycket övning i att använda ett 100-talsdiagram i första klass, tycker jag att de inte nödvändigtvis överför sin inlärning till större tal i andra klass.

Add Tens to Tens and Ones to Ones (Place Value)

Detta liknar i hög grad strategierna för att bryta delar, fast utan att bryta isär siffrorna. Eleverna kan lägga ihop delarna av talet (tiorna eller ettorna) mentalt eftersom de känner till sina additionsfakta. Vi använder i princip en v-modell för att dra linjer som förbinder tiorna och adderar eller subtraherar dessa delar.

Här är ett exempel på hur vi har använt det i klassrummet:

Subtract Tens, Subtract Ones (Place Value)

Liksom att addera tiotals till tiotals och ettor till ettor subtraherar eleverna varje platsvärde för sig och subtraherar sedan ettorna från tiorna (eller adderar dem). Det finns i princip två sätt att använda den här strategin. Eleverna kan dekomponera en de tio eller eleverna kan använda negativa tal.

Ett sätt som jag använder den här strategin med eleverna är med negativa tal. Jag vet att vi inte lär ut negativa tal i andra klass, men för vissa elever är detta verkligen ett sätt som de förstår och kan hålla fast vid mer än de andra strategierna. Du kan se exempel på detta i andra och tredje ankardiagrammet ovan.

Tänk på 64-47. Om jag subtraherar 4-7 får jag -3. Jag berättar för eleverna att det större talet har minustecknet framför sig och att det därför fortfarande har mer som måste tas bort. Eleverna subtraherar sedan 60-40, får 20 och subtraherar där mer för att få 17.

Räkna nedåt/tänk addition (räkna uppåt) / addera uppåt (förhållandet mellan addition & subtraktion eller platsvärde)

Jag är inte riktigt säker på om den här strategin handlar om förhållandet mellan addition och subtraktion eller platsvärde. Strategin Tänk addition liknar (om inte samma som) Count Up eller Add Up. Den här strategin liknar också i hög grad Break Apart Strategy, eftersom eleverna måste bryta isär minst ett av talen för att kunna ljuda uppåt eller nedåt med delarna i talet.

Även om eleverna kan räkna med ettor uppmuntrar jag dig starkt att hjälpa dem att gå över till effektivare strategier och räkna med tiotals och sedan med ettor. Genom att använda en hundratalsskala får eleverna öva på att röra sig med 10-tal uppåt och nedåt i tabellen. Ett hundratalschema är ungefär som en komprimerad tallinje. Se fotot ovan med 100- och 1000-tabellerna.

Här är några exempel på att räkna uppåt:

De ovanstående två exemplen är bara sådana som vi gjorde på whiteboard och jag hade eleverna skriva ner i sina anteckningsböcker.

Detta är en sida från mina Two-Digit Subtraction Flap Books. Dessa klappböcker går igenom flera olika modeller och strategier och ger eleverna övning i ordförråd och i att förklara sitt tänkande.

Det jag ÄLSKAR med dessa klappböcker är att eleverna kan fördjupa sig i en aspekt av tvåsiffrig subtraktion och koppla språket till siffrorna och processerna som de använder.

Use Compensation (Properties of Operations)

Denna sista strategi skiljer sig från någon av de föregående. I princip måste du se till att siffrorna är balanserade inom problemet och att du tar hänsyn till alla delar. Det är en föregångare till algebra och en bra strategi för mental matematik.

Det finns ett par olika sätt att använda kompensation, men den grundläggande idén är att du adderar eller subtraherar en del av ett tal och adderar det till det andra talet för att skapa ett vänligt tal. Du måste hålla reda på vad som lagts till eller tagits bort och ta hänsyn till det på något sätt i problemet.

Kompensation är särskilt användbart för tal som ligger nära vänskapliga tal, även om det kan användas för vilket tal som helst. Till exempel kan 68 – 39 omvandlas till 69 – 40. Jag har lagt till en till varje tal. Värdet av ett +1 och -1 är 0, så jag har inte ändrat problemet alls.

Här är ett annat exempel: 53 + 38. Jag kanske adderar 53 + 40 och får 93, men eftersom jag lagt till två till 38 för att komma till 40 måste jag subtrahera två från 93 för att få 91.

Den grundläggande idén med kompensation är att du justerar en del av talet till ett vänligt tal för att göra det lättare att addera eller subtrahera. När du justerar ett tal måste du dock hålla reda på vad du har justerat och kompensera för det.

Vad behöver eleverna veta innan de använder dessa strategier?

De ovanstående strategierna är mycket kraftfulla om eleverna kan lägga till dem i sin verktygslåda när de närmar sig tvåsiffrig addition och subtraktion. Men för att effektivt kunna använda ovanstående strategier behöver eleverna ha några saker på plats.

Additions- och subtraktionsfakta – Eleverna behöver vara ganska väl förtrogna med sina additions- och subtraktionsfakta. Behöver de ha alla fakta utantill med snabbhet? Nej. Men om eleverna ägnar för mycket tid åt att försöka räkna ut ett additionsfaktum och det hindrar dem från att fokusera på strategin eftersom de glömmer vad de höll på med, då behöver de mer flyt med sina additions- och subtraktionsfakta. Mina bedömningar av automatik hjälper eleverna att öva sina fakta per strategi.

Förmåga att hitta vänskapliga tal – I början av året ägnar vi lång tid åt att utveckla flyt med 10 som ett riktmärkt tal. Även om vi gör det i början av året för att hjälpa till med vår matematiska faktaflytande är det också fördelaktigt när eleverna börjar sin resa med att addera och subtrahera tvåsiffriga tal. Eleverna måste veta hur de ska ta sig till nästa vänliga tal, vilket i huvudsak är deras 10-fakta men tillämpa dem på tvåsiffriga tal för att hitta nästa tiotal.

Addera 10 till ett tal – Vi börjar vår additionsenhet för tvåsiffriga tal med en hel del övning i att addera och subtrahera tio från ett tal. Detta är en grundläggande färdighet i både mina tvåsiffriga additionsprodukter och mina tvåsiffriga subtraktionsprodukter. Eleverna måste se mönstret när de adderar 10 till ett tal.

Platsvärde – För att kunna göra tvåsiffrig addition behöver eleverna en stark grund i begreppet ettor och tior och vad det innebär att dela upp ett tal i ettor och tior. Från och med första skoldagen gör vi dagliga matematiska övningar som bygger upp flyt med platsvärde samt att hoppa över räkningen med tio från vilket tal som helst.

Undervisar jag den traditionella algoritmen?

Ja och nej. Ja, jag lär ut begreppet omgruppering och ja, jag lär eleverna att sträva efter effektivitet när de adderar och subtraherar. Det kan inkludera den traditionella algoritmen om de kan förstå innebörden bakom den.

Elverna behöver inte använda standardalgoritmen förrän i fjärde klass (enligt Common Core Standards). Kan de göra det tidigare? Kanske.

Jag visar dem den i andra klass som en modell som de kan använda, men vi ägnar inte mycket tid åt den eftersom jag vill att eleverna ska utveckla strategier för att lösa problem och inte vara bundna till en modell.

När vi arbetar med den traditionella algoritmen fäster vi mycket språk och mening vid den, och knyter den i allmänhet till arbete som vi redan har utfört, som till exempel vårt arbete med bas-10-block. Här är några exempel på Jag lär eleverna den traditionella algoritmen genom att koppla den till modeller som vi redan har använt och ger eleverna ett korrekt språk att använda för att förklara sitt tänkande.

Här är några exempel på hur jag ger eleverna erfarenhet av den traditionella algoritmen.

Markerade du att det borde stå 7 tior och 11 ettor? Eleven uppmärksammade inte bas-10 blocken!

Dessa kommer från mitt paket Decompose a Ten (sönderdela en tia), som balanserar arbetet med den traditionella algoritmen med bas-10-modeller och ger eleverna språket för att sönderdela tal.

Oj – det är mycket information att smälta! Det finns många olika modeller och strategier som en elev kan använda för att lösa tvåsiffriga additions- och subtraktionsproblem. Det jag beskrev ovan är några som jag har funnit särskilt hjälpsamma för eleverna. De hjälper eleverna att utveckla en solid grund med tvåsiffrig addition och subtraktion, skapar en bro till tresiffrig addition och subtraktion samt betonar idén om att använda strategier och modeller för att lösa problem, inte bara följa steg i en process.

Om du undervisar i andra klass kanske du gillar några sidor från några av mina produkter om tvåsiffrig addition och subtraktion. Jag har sammanställt den här PDF-filen med resurser som en sampler från flera olika produkter som verkligen betonar allt det arbete vi gör i vårt klassrum för att utveckla dessa strategier på djupet.

De olika komponenterna i samplaren kan användas i hel- eller smågrupper och är perfekta för att hjälpa dina elever att tänka utanför boxen när det gäller att lösa flersiffrig addition och subtraktion.

Tvåsiffriga resurser som nämns ovan

Här är en lista med länkar till alla de resurser för addition och subtraktion med två siffror som nämns ovan. De kan köpas på min webbplats eller på Teachers Pay Teachers.

• Roll and Spin Math Stations
• Cut and Paste Math Activities for Second Grade (TpT)
• Two-Digit Addition Math Centers (TpT)
• Two-Digit Subtraction Math Centers (TpT)
• Addition Task Cards Using 100s Charts (TpT)
• Two-…Subtraktionsböcker med flikar (TpT)
• Uppgiftskort för att sätta ihop en tia (TpT)

Många av ovanstående ingår också i en tvåsiffrig addition och subtraktion BUNDLE (TpT).