Fortsatt på temat 15-75-90 trianglar (se: Förra gången och Första gången) har det nyligen dykt upp flera intressanta riff på 15-75-90:or i en låda.
Exempel på att dela en kvadrat med fyra 15-75-90 trianglar:
Som ofta är fallet är det enkelt att hitta den relativa arean av trianglarna och kvadraten med hjälp av trigonometri:
Låt s vara längden på sidorna i kvadraten:
Arean av varje triangel = \(\frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) och med hjälp av formlerna för dubbla vinklar
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) så efter substitution och med vetskap om att sin(30) = \(\frac{1}{2}\) uppstår arean = \(\frac{1}{8}s^2\)
Men varför händer detta? Som vanligt lurar en 30-60-90 triangel som tillåter en euklidisk förklaring.
Vad som är särskilt intressant med detta är att det antyder att det finns dissektioner för att omvandla en 1/4 eller 1/8 av den större kvadraten till trianglar, och visst, man kan skjuta 1/4-triangeln ABO tills den blir 2 15-75-90′!
Men låt oss återgå till det ursprungliga problemet. Det finns en annan enkel förklaring till vad som händer som bara använder triangelns proportioner:
1. Observera att triangelns area är \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Genom att kvadrera hypotenusan får man \(4(2 – \sqrt{3})\) vilket är 8 gånger triangelns area.
3. Eller med andra ord, varje triangel är 1/8 av kvadraten som görs på hypotenusan.
Och vi har återfunnit vårt ursprungliga resultat.
Vidare frågor:
Jag överlåter åt läsaren att avgöra vilket problem baserat på denna egenskap som är roligast (från @eylem och @sansu-seijin):
Givet kvadraten med längden 6 cm, hur stort är det skuggade området?