Numerisk beräkning
Utvecklingen av nya metoder för numerisk beräkning var ett svar på de ökade praktiska kraven på numerisk beräkning, särskilt inom trigonometri, navigation och astronomi. Nya idéer spreds snabbt över Europa och resulterade 1630 i en stor revolution i numerisk praxis.
Simon Stevin från Holland introducerade i sin korta pamflett La Disme (1585) decimalbråk i Europa och visade hur man kunde utvidga den hinduisk-arabiska aritmetikens principer till att omfatta beräkningar med dessa tal. Stevin betonade nyttan av decimalaritmetiken ”för alla räkenskaper som man stöter på i människors angelägenheter”, och han förklarade i en bilaga hur den kunde tillämpas på lantmäteri, stereometri, astronomi och mensurering. Hans idé var att utvidga bas-10-positionsprincipen till tal med bråkdelar, med en motsvarande utvidgning av notationen för att täcka dessa fall. I hans system betecknades talet 237,578
där siffrorna till vänster om nollan är den integrala delen av talet. Till höger om nollan står siffrorna för bråkdelen, där varje siffra följs av ett inringat tal som anger den negativa potens som 10 höjs till. Stevin visade hur den vanliga aritmetiken för hela tal kunde utvidgas till decimalbråk, med hjälp av regler som bestämde placeringen av de negativa potenserna av 10.
Förutom sin praktiska användbarhet var La Disme betydelsefull för det sätt på vilket den undergrävde den dominerande stilen av klassisk grekisk geometri i den teoretiska matematiken. Stevins förslag krävde att man förkastade distinktionen i den euklidiska geometrin mellan storhet, som är kontinuerlig, och antal, som är en mängd odelbara enheter. För Euklides var enhet, eller ett, en speciell sorts sak, inte tal utan talets ursprung eller princip. Införandet av decimalbråk tycktes innebära att enheten kunde delas upp och att godtycklig kontinuerlig storhet kunde representeras numeriskt; det förutsatte underförstått begreppet ett allmänt positivt reellt tal.
Tabeller över logaritmer publicerades för första gången 1614 av den skotske lairden John Napier i hans avhandling Beskrivning av logaritmernas fantastiska kanon. Detta arbete följdes (postumt) fem år senare av ett annat där Napier redogjorde för de principer som användes vid konstruktionen av hans tabeller. Den grundläggande idén bakom logaritmer är att addition och subtraktion är lättare att utföra än multiplikation och division, vilka, som Napier påpekade, kräver en ”tråkig tidsåtgång” och är föremål för ”glidande fel”. Enligt lagen om exponenter är anam = an + m; det vill säga, vid multiplikation av tal är exponenterna relaterade additivt. Genom att korrelera den geometriska talföljden a, a2, a3, … (a kallas basen) och den aritmetiska sekvensen 1, 2, 3, … och genom att interpolera till bråkvärden är det möjligt att reducera problemet med multiplikation och division till ett problem med addition och subtraktion. För att göra detta valde Napier en bas som låg mycket nära 1 och som endast skiljer sig från 1/107. Den resulterande geometriska sekvensen gav därför en tät uppsättning värden som lämpade sig för att konstruera en tabell.
I sitt arbete från 1619 presenterade Napier en intressant kinematisk modell för att generera de geometriska och aritmetiska sekvenser som användes vid konstruktionen av hans tabeller. Anta att två partiklar rör sig längs separata linjer från givna utgångspunkter. Partiklarna börjar röra sig i samma ögonblick med samma hastighet. Den första partikeln fortsätter att röra sig med en hastighet som minskar och som i varje ögonblick är proportionell mot det avstånd som återstår mellan den och en given fast punkt på linjen. Den andra partikeln rör sig med en konstant hastighet som är lika med dess utgångshastighet. Givet varje tidsintervall bildar de avstånd som den första partikeln tillryggalägger i på varandra följande tidsintervall en geometriskt minskande sekvens. De motsvarande avstånden för den andra partikeln bildar en aritmetiskt ökande sekvens. Napier kunde använda denna modell för att härleda satser som gav exakta gränser för ungefärliga värden i de två sekvenserna.
Napiers kinematiska modell visade hur skickliga matematikerna hade blivit i början av 1600-talet när det gällde att analysera oenhetlig rörelse. Kinematiska idéer, som förekom ofta i periodens matematik, gav ett tydligt och visualiserbart sätt att generera geometriska storheter. Föreställningen om en kurva som följs av en partikel som rör sig i rummet spelade senare en viktig roll i utvecklingen av kalkylen.
Napiers idéer togs upp och reviderades av den engelske matematikern Henry Briggs, den förste Savilian-professorn i geometri vid Oxford. År 1624 publicerade Briggs en omfattande tabell över vanliga logaritmer, eller logaritmer till basen 10. Eftersom basen inte längre låg nära 1 kunde tabellen inte erhållas lika enkelt som Napiers, och Briggs utvecklade därför tekniker som involverade beräkningen av finita skillnader för att underlätta beräkningen av posterna. Han utarbetade också interpolationsförfaranden med stor beräkningseffektivitet för att få fram mellanliggande värden.
I Schweiz kom instrumentmakaren Joost Bürgi på idén om logaritmer oberoende av Napier, även om han inte publicerade sina resultat förrän 1620. Fyra år senare dök en tabell över logaritmer utarbetad av Kepler upp i Marburg. Både Bürgi och Kepler var astronomiska observatörer, och Kepler inkluderade logaritmiska tabeller i sina berömda Tabulae Rudolphinae (1627; ”Rudolphine Tables”), astronomiska tabeller över planetrörelser som härrörde från antagandet om elliptiska banor runt solen.