En kromatisk skala i västerländsk musik delar upp en oktav i 12 delar. Det finns lite olika sätt att dela upp oktaven i 12 delar, och de olika tillvägagångssätten har långa och subtila historier. Det här inlägget kommer att titta på roten till skillnaderna.
En oktav är ett förhållande mellan 2 och 1. Anta att en sträng med en viss spänning och längd ger ett A när den plockas. Om du gör strängen dubbelt så spänd, eller behåller samma spänning och skär strängen på mitten, kommer strängen att låta A en oktav högre. Det nya ljudet kommer att vibrera luften dubbelt så många gånger per sekund.
En kvint är ett förhållande mellan 3 och 2 på samma sätt som en oktav är ett förhållande mellan 2 och 1. Så om vi börjar med ett A 440 (en tonhöjd som vibrerar vid 440 Hz, 440 vibrationer per sekund) så vibrerar E en kvint ovanför A vid 660 Hz.
Vi kan gå uppåt med kvintar och neråt med oktaver för att producera varje ton i den kromatiska skalan. Om vi till exempel går upp ytterligare en kvint från E 660 får vi ett B 990. Om vi sedan går ner en oktav till B 495 får vi B ett steg över A 440. Detta säger att en ”sekund”, som t.ex. intervallet från A till B, är ett förhållande mellan 9 och 8. Därefter skulle vi kunna producera F# genom att gå upp en kvint från B, osv. Denna progression av toner kallas för kvintcirkeln.
Nästan tar vi ett annat tillvägagångssätt. Varje gång vi går upp med ett halvt steg i den kromatiska skalan ökar vi tonhöjden med ett förhållande r. När vi gör detta 12 gånger går vi upp en oktav, så r12 måste vara 2. Detta säger att r är den 12:e roten av 2. Om vi börjar med ett A 440 måste tonhöjden n halvsteg högre vara 2n/12 gånger 440.
Nu har vi två sätt att gå upp en kvint. Det första sättet säger att en kvint är ett förhållande mellan 3 och 2. Eftersom en kvint är sju halvsteg, säger det andra sättet att en kvint är ett förhållande mellan 27/12 och 1. Om dessa är lika stora har vi bevisat att 27/12 är lika med 3/2. Tyvärr är detta inte exakt sant, även om det är en bra approximation eftersom 27/12 = 1,498. Kvoten 3/2 kallas för en ”perfekt” femma för att skilja den från kvoten 1,498. Skillnaden mellan perfekta kvinter och vanliga kvinter är liten, men den ökar när man använder perfekta kvinter för att konstruera varje tonhöjd.
Ansatsen att göra varje ton via perfekta kvinter och oktaver är känd som pythagorisk stämning. Det tillvägagångssätt som använder den 12:e roten av 2 är känt som jämnstämning. Eftersom 1,498 inte är detsamma som 1,5 ger de två metoderna olika stämningssystem. Det finns olika kompromisser som försöker bevara aspekter av båda systemen. Varje uppsättning kompromisser ger ett annat stämningssystem. Och i själva verket är det pythagoreiska stämningssystemet lite mer komplicerat än vad som beskrivs ovan eftersom det också innefattar vissa kompromisser.
Relaterat inlägg: Femtecirkel och talteori