Samband mellan linjära och roterande storheter
Beskrivningen av rörelser kan ibland vara enklare med hjälp av vinkelmängder som t.ex. vinkelhastighet, rotationströghet, vridmoment osv.
Lärandemål
Utleda enhetlig cirkelrörelse från linjära ekvationer
Nyckelresultat
Nyckelpunkter
- När vi använder massa, linjär drivkraft, translationell kinetisk energi och Newtons andra lag för att beskriva linjär rörelse, kan vi beskriva en allmän rotationsrörelse med hjälp av motsvarande skalar-, vektor- och tensormängder.
- Angular- och linjärhastighet har följande förhållande: \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}.
- Som vi använder rörelseekvationen \text{F} = \text{ma} för att beskriva en linjär rörelse, kan vi använda dess motsvarighet \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \times \bf{\text{F}}, för att beskriva vinkelrörelse. Beskrivningarna är likvärdiga, och valet kan göras enbart av bekvämlighetsskäl.
Nyckelbegrepp
- enhetlig cirkelrörelse: Rörelse runt en cirkulär bana med konstant hastighet.
- vridmoment: En roterande eller vridande effekt av en kraft; (SI-enhet newton-meter eller Nm; imperial enhet foot-pound eller ft-lb)
- rotationströghet: Tendensen hos ett roterande föremål att förbli roterande om inte ett vridmoment appliceras på det.
Definition av cirkelrörelse
Beskrivningen av cirkelrörelse beskrivs bättre genom vinkelmängden än genom dess linjära motpart. Skälen är lätta att förstå. Tänk till exempel på fallet med en enhetlig cirkelrörelse. Här ändras partikelns hastighet – trots att rörelsen är ”enhetlig”. De två begreppen går inte ihop. Den allmänna konnotationen av termen ”enhetlig” indikerar ”konstant”, men hastigheten förändras i själva verket hela tiden.
En roterande kropp: Varje partikel som utgör kroppen utför en enhetlig cirkelrörelse runt den fasta axeln. För att beskriva rörelsen är vinkelmängder det bättre valet.
När vi beskriver den enhetliga cirkelrörelsen i termer av vinkelhastighet finns det ingen motsägelse. Hastigheten (dvs. vinkelhastigheten) är faktiskt konstant. Detta är den första fördelen med att beskriva enhetlig cirkelrörelse i termer av vinkelhastighet.
Den andra fördelen är att vinkelhastigheten förmedlar den fysiska känslan av partikelns rotation i motsats till den linjära hastigheten, som anger en translationsrörelse. Alternativt betonar vinkelbeskrivningen skillnaden mellan två typer av rörelse (translationell och roterande).
Samband mellan linjär- och vinkelhastighet
För enkelhetens skull kan vi betrakta en enhetlig cirkelrörelse. För längden på den båge som subtenderar vinkeln ” vid ursprunget och ”r” är radien på den cirkel som innehåller partikelns position, har vi \text{s}=\text{r}\theta .
Differentierar vi med avseende på tiden har vi
\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}}{\text{dt}} \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Då \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = 0 för en jämn cirkelrörelse, får vi \text{v} = \omega \text{r}. På samma sätt får vi också \text{a} = \alpha \text{r} där \text{a} står för linjär acceleration, medan \alpha hänvisar till vinkelacceleration (I ett mer generellt fall ges förhållandet mellan vinkel- och linjära kvantiteter som \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{\text{a} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}}. )
Rotationskinetiska ekvationer
Med förhållandet mellan linjär och vinkelhastighet/acceleration kan vi härleda följande fyra rotationskinetiska ekvationer för konstanta \text{a} och \alpha:
\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Massa, rörelsemängd, energi och Newtons andra lag
Som vi använder massa, linjär rörelsemängd, translationell kinetisk energi och Newtons andra lag för att beskriva linjär rörelse, kan vi beskriva en allmän rotationsrörelse med hjälp av motsvarande skalar-, vektor- och tensormängder:
- Massa/ rotationströghet:
- Linjärt/angulärt moment:
- Kraft/vridmoment:
- Kinetisk energi:
För att beskriva en linjär rörelse kan vi till exempel, precis som vi använder rörelseekvationen \text{F} = \text{ma} för att beskriva en linjär rörelse, använda dess motsvarighet \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}} \times \bf{\text{F}} för att beskriva en vinkelrörelse. Beskrivningarna är likvärdiga, och valet kan göras enbart för att underlätta användningen.