7.6: Volym, orientering och Levi-Civita-tensorn

Orientering

Som framgår av figur \(\PageIndex{5}\) kräver områdets linjäritet att vissa områden tilldelas negativa värden. Om vi jämför områdena \(+1\) och \(-1\) ser vi att den enda skillnaden är en skillnad i orientering, eller handhållning. I det fall där vi godtyckligt har tilldelat området \(+1\) ligger vektor b moturs från vektor a, men när a är flipped blir den relativa orienteringen medurs.

Om du har haft den vanliga fysikbakgrunden för nybörjare har du sett denna fråga behandlas på ett särskilt sätt, nämligen att vi antar att det finns en tredje dimension och definierar arean som vektorkorsningsprodukten \(a×b\), som är vinkelrät mot det plan som bebos av \(a\) och \(b\). Problemet med detta tillvägagångssätt är att det bara fungerar i tre dimensioner. I fyra dimensioner antar vi att a ligger längs \(x\)-axeln och \(b\) längs \(t\)-axeln. Om vi då skulle definiera \(a×b\) skulle den ligga i en riktning vinkelrätt mot båda dessa, men vi har mer än en sådan riktning. Vi skulle kunna välja vad som helst i \(y-z\)-planet.

För att komma igång med denna fråga i m dimensioner, där \(m\) inte nödvändigtvis är lika med \(3\), kan vi betrakta \(m\)-volymen av den \(m\)-dimensionella parallelepiped som spänns upp av \(m\)-vektorer. Anta till exempel att vi i \(4\)-dimensionell rymdtid väljer våra \(m\)-vektorer som enhetsvektorer som ligger längs Minkowskikoordinaternas fyra axlar, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\; \text{and}\; \hat{z}\). Av erfarenhet av vektorkorsningsprodukten, som är antikommutativ, förväntar vi oss att resultatets tecken kommer att bero på vektorernas ordning, så låt oss ta dem i den ordningen. Det finns uppenbarligen bara två rimliga värden som vi kan tänka oss för denna volym: \(+1\) eller \(-1\). Valet är godtyckligt, så vi gör ett godtyckligt val. Låt oss säga att det är \(+1\) för denna ordning. Detta går ut på att välja en orientering för rumtiden.

Ett dolt och icke-trivialt antagande var att när vi väl har gjort detta val vid en punkt i rumtiden kan det överföras till andra regioner i rumtiden på ett konsekvent sätt. Detta behöver inte vara fallet, vilket föreslås i figur \(\PageIndex{6}\).

Vårt ämne för tillfället är dock speciell relativitetsteori, och som diskuteras briefligt i avsnitt 2.4, antas det vanligtvis i speciell relativitetsteori att rymdtiden är topologiskt trivial, så att denna fråga uppstår endast i allmän relativitetsteori, och endast i rymdtider som troligen inte är realistiska modeller av vårt universum.

Då \(4\)-volymen är invariant under rotationer och Lorentztransformationer räcker vårt val av en orientering för att fastställa en definition av \(4\)-volymen som är en Lorentzinvariant. Om vektorerna \(a\), \(b\), \(c\) och \(d\) spänner över en \(4\)-parallelepiped, uttrycks volymens linjäritet genom att säga att det finns en uppsättning koefficienter \(\epsilon _{ijkl}\) så att

\

Att notera det på detta sätt tyder på att vi tolkar det som abstrakt indexnotation, I så fall innebär avsaknaden av index på \(V\) att det inte bara är en Lorentz-invariant utan också en skalär.

Resultatet av exempel \(\(\PageIndex{2}\) säger oss att enligt vår konvention att volymen är en skalär, måste komponenterna i förändras när vi ändrar koordinater. Man skulle kunna hävda att det vore mer logiskt att betrakta transformationen i det här exemplet som en ändring av enheter, i vilket fall värdet av \(V\) skulle vara annorlunda i de nya enheterna; detta är en möjlig alternativ konvention, men den skulle ha den nackdelen att den gör det omöjligt att avläsa transformationsegenskaperna för ett objekt från antalet och positionen av dess index. Med vår konvention kan vi avläsa transformationsegenskaperna på detta sätt. Även om avsnitt 7.4 endast presenterade dessa egenskaper för tensorer av rang \(0\) och \(1\) och sköt upp den allmänna beskrivningen av tensorer av högre rang till avsnitt 9.2, är \(\epsilon\):s transformationsegenskaper, som antyds av de fyra indexen, egenskaperna hos en tensor av rang \(4\). Olika författare använder olika konventioner när det gäller definitionen av \(\epsilon\), som ursprungligen beskrevs av matematikern Levi-Civita.

Då \(\epsilon\) enligt vår konvention är en tensor, hänvisar vi till den som Levi-Civita-tensorn. I andra konventioner, där \(\epsilon\) inte är en tensor, kan den refereras till som Levi-Civita-symbolen. Eftersom notationen inte är standardiserad kommer jag ibland att sätta en påminnelse bredvid viktiga ekvationer som innehåller \(\epsilon\) om att detta är tensorn \(\epsilon\).

Levi-Civita-tensorn har massor och massor av index. Skrämmande! Föreställ dig komplexiteten hos denna best. (Vi har fyra valmöjligheter för det första indexet, fyra för det andra och så vidare, så att det totala antalet komponenter är \(256\). Vänta, ta inte fram kleenexen. Följande exempel visar att denna komplexitet är illusorisk.

Exemplet \(\PageIndex{3}\) visar att den tjusiga symbolen \(\epsilon _{ijkl}\), som ser ut som en hemlig mayahieroglyf som åberopar \(256\) olika tal, i själva verket bara kodar ett tals värde av information; varje komponent i tensorn är antingen lika med detta tal, eller minus detta tal, eller noll. Anta att vi arbetar i någon uppsättning koordinater, som kanske inte är Minkowski, och att vi vill hitta detta tal. Ett komplicerat sätt att hitta det skulle vara att använda tensortransformationslagen för en rank-\(4\)-tenor (avsnitt 9.2). Ett mycket enklare sätt är att använda metrikens determinant, som diskuteras i exempel 6.2.1. För en lista med koordinater ijkl som är sorterade i den ordning som vi definierar som en positiv orientering är resultatet helt enkelt \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{\left | det\; g \right |}\). Absolutvärdet behövs eftersom en relativistisk metrik har en negativ determinant.