Continuând pe tema triunghiurilor 15-75-90 (vezi: Ultima dată și Prima dată) au apărut recent mai multe variante interesante ale triunghiurilor 15-75-90 într-o cutie.
Exemplu de împărțire a unui pătrat cu patru triunghiuri 15-75-90:
Cum se întâmplă adesea, găsirea ariei relative a triunghiurilor și a pătratului este simplă, folosind trigonometria:
Să fie s lungimea laturilor pătratului:
Arie a fiecărui triunghi = \(\frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) și folosind formulele unghiurilor duble
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) deci după substituție și știind că sin(30) = \(\frac{1}{2}\) iese aria = \(\frac{1}{8}s^2\)
Dar de ce se întâmplă asta? Ca de obicei, un triunghi 30-60-90 este de obicei la pândă, care permite o explicație euclidiană.
Ceea ce este deosebit de interesant la acest lucru este că sugerează că există disecții pentru a transforma un 1/4 sau 1/8 din pătratul mai mare în triunghiuri și, cu siguranță, se glisează triunghiul 1/4 ABO până când devine 2 15-75-90′!
Dar să ne întoarcem la problema inițială. Există o altă explicație ușoară a ceea ce se întâmplă, care folosește doar raporturile triunghiului:
1. Observați că aria acestui triunghi este \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Ridicând la pătrat ipotenuza se obține \(4(2 – \sqrt{3})\) care este de 8 ori aria triunghiului.
3. Sau, cu alte cuvinte, fiecare triunghi este 1/8 din pătratul făcut pe ipotenuză.
Și am regăsit rezultatul inițial.
Întrebări suplimentare: Există și alte triunghiuri obișnuite care împart pătratul într-o fracție unitară sau „simplă”.
Lăsăm la latitudinea cititorului să decidă ce problemă bazată pe această proprietate este mai amuzantă (de la @eylem și @sansu-seijin):
Dat fiind pătratul de lungime 6cm, cât de mare este regiunea umbrită?
.