Calcul numeric
Dezvoltarea de noi metode de calcul numeric a fost un răspuns la creșterea cerințelor practice de calcul numeric, în special în trigonometrie, navigație și astronomie. Noile idei s-au răspândit rapid în Europa și au dus, până în 1630, la o revoluție majoră în practica numerică.
Simon Stevin din Olanda, în scurta sa broșură La Disme (1585), a introdus fracțiile zecimale în Europa și a arătat cum să extindă principiile aritmeticii hindus-arabe la calculul cu aceste numere. Stevin a subliniat utilitatea aritmeticii zecimale „pentru toate socotelile care se întâlnesc în afacerile oamenilor” și a explicat într-un apendice cum poate fi aplicată la topografie, stereometrie, astronomie și măsurători. Ideea sa a fost de a extinde principiul pozițional al bazei 10 la numerele cu părți fracționare, cu o extindere corespunzătoare a notației pentru a acoperi aceste cazuri. În sistemul său, numărul 237,578 a fost notat
în care cifrele din stânga lui zero reprezintă partea integrală a numărului. În dreapta lui zero sunt cifrele din partea fracționară, fiecare cifră fiind urmată de un număr încercuit care indică puterea negativă la care este ridicat 10. Stevin a arătat cum aritmetica obișnuită a numerelor întregi poate fi extinsă la fracțiile zecimale, folosind reguli care determină poziționarea puterilor negative ale lui 10.
Pe lângă utilitatea sa practică, La Disme a fost semnificativ pentru modul în care a subminat stilul dominant al geometriei clasice grecești în matematica teoretică. Propunerea lui Stevin a necesitat o respingere a distincției din geometria euclidiană între mărime, care este continuă, și număr, care este o multitudine de unități indivizibile. Pentru Euclid, unitatea, sau unul, era un tip special de lucru, nu numărul, ci originea, sau principiul numărului. Introducerea fracțiilor zecimale părea să implice faptul că unitatea putea fi subdivizată și că o mărime continuă arbitrară putea fi reprezentată numeric; ea presupunea implicit conceptul de număr real pozitiv general.
Tabelele de logaritmi au fost publicate pentru prima dată în 1614 de către lairdul scoțian John Napier în tratatul său Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Această lucrare a fost urmată (postum) cinci ani mai târziu de o alta în care Napier a expus principiile folosite în construirea tabelelor sale. Ideea de bază din spatele logaritmilor este că adunarea și scăderea sunt mai ușor de efectuat decât înmulțirea și împărțirea, care, după cum a observat Napier, necesită o „cheltuială plictisitoare de timp” și sunt supuse unor „erori alunecoase”. Prin legea exponenților, anam = an + m; adică, în înmulțirea numerelor, exponenții sunt legați aditiv. Prin corelarea secvenței geometrice a numerelor a, a2, a3,…(a se numește bază) și a secvenței aritmetice 1, 2, 3,…și prin interpolarea la valori fracționare, este posibilă reducerea problemei înmulțirii și împărțirii la una a adunării și scăderii. Pentru a face acest lucru, Napier a ales o bază foarte apropiată de 1, diferind de aceasta cu doar 1/107. Secvența geometrică rezultată a dat, prin urmare, un set dens de valori, potrivit pentru construirea unui tabel.
În lucrarea sa din 1619, Napier a prezentat un model cinematic interesant pentru a genera secvențele geometrice și aritmetice utilizate în construcția tabelelor sale. Să presupunem că două particule se deplasează de-a lungul unor linii separate din puncte inițiale date. Particulele încep să se deplaseze în același moment și cu aceeași viteză. Prima particulă continuă să se deplaseze cu o viteză descrescătoare, proporțională în fiecare clipă cu distanța rămasă între ea și un punct fix dat de pe linie. A doua particulă se deplasează cu o viteză constantă egală cu viteza sa inițială. Pentru orice interval de timp, distanțele parcurse de prima particulă în intervale succesive formează o secvență geometric descrescătoare. Distanțele corespunzătoare parcurse de cea de-a doua particulă formează o secvență crescătoare din punct de vedere aritmetic. Napier a putut folosi acest model pentru a deriva teoreme care dau limite precise la valorile aproximative din cele două secvențe.
Modelul cinematic al lui Napier a indicat cât de pricepuți deveniseră matematicienii la începutul secolului al XVII-lea în analiza mișcării neuniforme. Ideile cinematice, care apăreau frecvent în matematica din acea perioadă, ofereau un mijloc clar și ușor de vizualizat pentru generarea mărimii geometrice. Concepția unei curbe trasate de o particulă care se deplasează în spațiu a jucat mai târziu un rol semnificativ în dezvoltarea calculului.
Ideile lui Napier au fost preluate și revizuite de matematicianul englez Henry Briggs, primul profesor Savilian de geometrie de la Oxford. În 1624, Briggs a publicat un tabel extins de logaritmi comuni, sau logaritmi până la baza 10. Deoarece baza nu mai era apropiată de 1, tabelul nu putea fi obținut la fel de simplu ca cel al lui Napier și, prin urmare, Briggs a conceput tehnici care implică calculul diferențelor finite pentru a facilita calculul intrărilor. El a conceput, de asemenea, proceduri de interpolare de mare eficiență computațională pentru a obține valori intermediare.
În Elveția, constructorul de instrumente Joost Bürgi a ajuns la ideea logaritmilor independent de Napier, deși nu și-a publicat rezultatele decât în 1620. Patru ani mai târziu a apărut la Marburg un tabel de logaritmi pregătit de Kepler. Atât Bürgi, cât și Kepler erau observatori astronomi, iar Kepler a inclus tabelele logaritmice în faimoasele sale Tabulae Rudolphinae (1627; „Tabelele Rudolphine”), tabulații astronomice ale mișcării planetare derivate prin utilizarea ipotezei orbitelor eliptice în jurul Soarelui.
.