Relația dintre mărimile liniare și cele de rotație
Descrierea mișcării ar putea fi uneori mai ușoară cu ajutorul mărimilor unghiulare, cum ar fi viteza unghiulară, inerția de rotație, cuplul, etc.
Obiective de învățare
Derivarea mișcării circulare uniforme din ecuații liniare
Cele mai importante concluzii
Cele mai importante puncte
- Cum folosim masa, impulsul liniar, energia cinetică de translație și legea a 2-a a lui Newton pentru a descrie mișcarea liniară, putem descrie o mișcare de rotație generală folosind mărimile scalare/vectoare/tensoriale corespunzătoare.
- Viteza unghiulară și viteza liniară au următoarea relație: \bf{\text{v} = \omega \ ori \text{r}}.
- Cum folosim ecuația mișcării \text{F} = \text{ma} pentru a descrie o mișcare liniară, putem folosi echivalentul ei \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}}. \ ori \bf{\text{F}}, pentru a descrie mișcarea unghiulară. Descrierile sunt echivalente, iar alegerea poate fi făcută doar pentru comoditatea utilizării.
Termeni cheie
- mișcare circulară uniformă: Mișcare în jurul unei traiectorii circulare cu viteză constantă.
- cuplu: Efectul de rotație sau de răsucire al unei forțe; (unitate SI newton-metru sau Nm; unitate imperială foot-pound sau ft-lb)
- inerție rotațională: Tendința unui obiect în rotație de a rămâne în rotație dacă nu i se aplică un cuplu.
Definirea mișcării circulare
Descrierea mișcării circulare este descrisă mai bine în termeni de cantitate unghiulară decât în termeni de contraparte liniară a acesteia. Motivele sunt ușor de înțeles. De exemplu, să considerăm cazul mișcării circulare uniforme. Aici, viteza particulei se schimbă – deși mișcarea este „uniformă”. Cele două concepte nu merg împreună. Conotația generală a termenului „uniform” indică „constant”, dar viteza se schimbă de fapt tot timpul.
Un corp în rotație: Fiecare particulă care constituie corpul execută o mișcare circulară uniformă în jurul axei fixe. Pentru descrierea mișcării, mărimile unghiulare sunt cea mai bună alegere.
Când descriem mișcarea circulară uniformă în termeni de viteză unghiulară, nu există nici o contradicție. Viteza (adică viteza unghiulară) este într-adevăr constantă. Acesta este primul avantaj al descrierii mișcării circulare uniforme în termeni de viteză unghiulară.
Al doilea avantaj este că viteza unghiulară transmite sensul fizic al rotației particulei, spre deosebire de viteza liniară, care indică mișcarea de translație. Alternativ, descrierea unghiulară subliniază distincția dintre două tipuri de mișcare (de translație și de rotație).
Relația dintre viteza liniară și cea unghiulară
Pentru simplificare, să considerăm o mișcare circulară uniformă. Pentru lungimea arcului care subîntinde unghiul ” la origine și „r” este raza cercului care conține poziția particulei, avem \text{s}=\text{r}\theta .
Diferențiind în raport cu timpul, avem
\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}}{\text{dt}}. \theta + \text{r}\frac{\text{d}\theta}{\text{dt}}.
Pentru că \frac{\text{dr}}{\text{dt}} = 0 pentru o mișcare circulară uniformă, obținem \text{v} = \omega \text{r}. În mod similar, obținem \text{a} = \alpha \text{r}, unde \text{a} reprezintă accelerația liniară, în timp ce \alpha se referă la accelerația unghiulară (Într-un caz mai general, relația dintre mărimile unghiulare și cele liniare este dată de \bf{\text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{\text{a} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}}. )
Ecuații cinematice de rotație
Cu relația dintre viteza/accelerația liniară și cea unghiulară, putem deduce următoarele patru ecuații cinematice de rotație pentru constantele \text{a} și \alpha:
\omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+\text{at}
\theta =\omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=\omega 02+2: \text{v}2=\text{v}02+2\text{ax}
Masa, momentul, energia și a doua lege a lui Newton
Așa cum am folosit masa, momentul liniar, energia cinetică de translație și a doua lege a lui Newton pentru a descrie mișcarea liniară, putem descrie o mișcare generală de rotație folosind mărimile scalare/vectoare/tensoriale corespunzătoare:
- Masa/ Inerția de rotație:
- Curentul liniar/angular:
- Forța/ Cuplul:
- Energia cinetică:
De exemplu, așa cum folosim ecuația de mișcare \text{F} = \text{ma} pentru a descrie o mișcare liniară, putem folosi omologul ei \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{\text{dt}} = \bf{\text{r}}. \ ori \bf{\text{F}} pentru a descrie o mișcare unghiulară. Descrierile sunt echivalente, iar alegerea poate fi făcută doar pentru comoditatea utilizării.
.