7.6: Volumul, orientarea și tensorul Levi-Civita

Orientare

Așa cum se arată în figura \(\PageIndex{5}\), linearitatea suprafeței necesită ca unor suprafețe să li se atribuie valori negative. Dacă comparăm ariile \(+1\) și \(-1\), observăm că singura diferență este una de orientare, sau de mână. În cazul în care am atribuit în mod arbitrar aria \(+1\), vectorul b se află în sens invers acelor de ceasornic față de vectorul a, dar atunci când a este flipped, orientarea relativă devine în sensul acelor de ceasornic.

Dacă ați avut pregătirea obișnuită de fizică de începător, atunci ați văzut această problemă tratată într-un mod special, și anume că presupunem că există o a treia dimensiune și definim aria ca fiind produsul vectorial încrucișat \(a×b\), care este perpendicular pe planul locuit de \(a\) și \(b\). Problema cu această abordare este că funcționează numai în trei dimensiuni. În patru dimensiuni, să presupunem că a se află de-a lungul axei \(x\), iar \(b\) de-a lungul axei \(t\). Atunci, dacă ar trebui să definim \(a×b\), aceasta ar trebui să fie într-o direcție perpendiculară pe ambele direcții, dar avem mai multe astfel de direcții. Am putea alege orice în planul \(y-z\).

Pentru a începe să analizăm această problemă în m dimensiuni, unde \(m\) nu este neapărat egal cu \(3\), putem considera volumul \(m\) al paralelipipedului \(m\)-dimensional străbătut de vectorii \(m\). De exemplu, să presupunem că în spațiu-timpul \(4\) dimensional alegem ca vectorii noștri \(m\) să fie vectorii unitari aflați de-a lungul celor patru axe ale coordonatelor Minkowski, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}\; \text{și}\; \hat{z}\). Din experiența cu produsul vectorial încrucișat, care este anticomutativ, ne așteptăm ca semnul rezultatului să depindă de ordinea vectorilor, deci să le luăm în această ordine. Evident, există doar două valori rezonabile pe care le putem imagina pentru acest volum: \(+1\) sau \(-1\). Alegerea este arbitrară, așa că vom face o alegere arbitrară. Să spunem că este \(+1\) pentru această ordine. Acest lucru echivalează cu alegerea unei orientări pentru spațiu-timp.

O ipoteză ascunsă și netrivială a fost aceea că odată ce am făcut această alegere într-un punct al spațiu-timpului, ea ar putea fi transferată în alte regiuni ale spațiu-timpului într-un mod coerent. Acest lucru nu trebuie să fie neapărat cazul, după cum sugerează figura \(\PageIndex{6}\\).

Cu toate acestea, subiectul nostru în acest moment este relativitatea specială și, după cum se discută briefly în secțiunea 2.4, în relativitatea specială se presupune de obicei că spațiu-timpul este topologic trivial, astfel încât această problemă apare doar în relativitatea generală și doar în spații-timpuri care probabil nu sunt modele realiste ale universului nostru.

Din moment ce \(4\)-volumul este invariant sub rotații și transformări Lorentz, alegerea noastră a unei orientări este suficientă pentru a fixa o definiție a \(4\)-volumului care este un invariant Lorentz. Dacă vectorii \(a\), \(b\), \(c\) și \(d\) acoperă un paralelipiped \(4\), atunci liniaritatea volumului se exprimă spunând că există un set de coeficienți \(\epsilon _{ijkl}\) astfel încât

\

Notarea în acest fel sugerează că o interpretăm ca o notație abstractă de indici, caz în care lipsa oricăror indici pe \(V\) înseamnă că acesta nu este doar un invariant Lorentz, ci și un scalar.

Rezultatul din Exemplul \(\PageIndex{2}\) ne spune că, în conformitate cu convenția noastră conform căreia volumul este un scalar, componentele lui trebuie să se schimbe atunci când schimbăm coordonatele. S-ar putea argumenta că ar fi mai logic să ne gândim la transformarea din acest exemplu ca la o schimbare de unități, caz în care valoarea lui \(V\) ar fi diferită în noile unități; aceasta este o posibilă convenție alternativă, dar ar avea dezavantajul de a face imposibilă citirea proprietăților de transformare ale unui obiect din numărul și poziția indicilor săi. Conform convenției noastre, putem citi proprietățile de transformare în acest mod. Deși secțiunea 7.4 a prezentat aceste proprietăți doar în cazul tensorilor de rang \(0\) și \(1\), amânând descrierea generală a tensorilor de rang superior pentru secțiunea 9.2, proprietățile de transformare ale lui \(\epsilon\) sunt, așa cum reiese din cei patru indici, cele ale unui tensor de rang \(4\). Diferiți autori folosesc convenții diferite în ceea ce privește definiția lui \(\epsilon\), care a fost descrisă inițial de matematicianul Levi-Civita.

Din moment ce prin convenția noastră \(\epsilon\) este un tensor, ne referim la el ca la tensorul Levi-Civita. În alte convenții, în care \(\epsilon\) nu este un tensor, se poate face referire la el ca la simbolul Levi-Civita. Deoarece notația nu este standardizată, voi pune ocazional un memento lângă ecuațiile importante care conțin \(\epsilon\) precizând că acesta este tensorul \(\epsilon\).

Tensorul Levi-Civita are foarte mulți indici. Înspăimântător! Imaginați-vă complexitatea acestei bestii. (Sob.) Avem patru opțiuni pentru primul indice, patru pentru al doilea, și așa mai departe, astfel încât numărul total de componente este \(256\). Stai, nu pune mâna pe șervețel. Exemplul următor arată că această complexitate este iluzorie.

Exemplul \(\PageIndex{3}\) arată că simbolul fantezist \(\epsilon _{ijkl}\), care seamănă cu o hieroglifă mayașă secretă care invocă \(256\) numere diferite, codifică, de fapt, doar un singur număr de informații; fiecare componentă a tensorului fie este egală cu acest număr, fie minus acest număr, fie zero. Să presupunem că lucrăm într-un set de coordonate, care ar putea să nu fie Minkowski, și că dorim să găsim acest număr. Un mod complicat de a-l găsi ar fi să folosim legea de transformare a tensorilor pentru un tensor de rang-\(4\) (secțiunea 9.2). O modalitate mult mai simplă este de a utiliza determinantul metricii, discutat în Exemplul 6.2.1. Pentru o listă de coordonate ijkl care sunt ordonate în ordinea pe care o definim ca fiind o orientare pozitivă, rezultatul este pur și simplu \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{\left | det\; g \right |}}\). Semnul valorii absolute este necesar deoarece o metrică relativistă are un determinant negativ.

.