As leis da física quântica estão ao mundo das partículas elementares da mesma forma que as leis da mecânica clássica de Newton estão ao mundo macroscópico. Quase meio século atrás, Yang e Mills introduziram uma nova e notável estrutura para descrever partículas elementares usando estruturas que também ocorrem na geometria. A teoria Quantum Yang-Mills é agora a base da maior parte da teoria elementar das partículas, e as suas previsões foram testadas em muitos laboratórios experimentais, mas a sua base matemática ainda não é clara. O uso bem sucedido da teoria de Yang-Mills para descrever as fortes interações das partículas elementares depende de uma propriedade mecânica quântica sutil chamada “mass gap”: as partículas quânticas têm massas positivas, mesmo que as ondas clássicas viajem à velocidade da luz. Esta propriedade foi descoberta por físicos a partir de experiências e confirmada por simulações de computador, mas ainda não foi compreendida do ponto de vista teórico. O progresso no estabelecimento da existência da teoria de Yang-Mills e uma lacuna de massa vai exigir a introdução de novas ideias fundamentais tanto em física como em matemática.