Modelos & Estratégias para adição e subtração de dois dígitos

Ano segundo ano é um ano muito importante onde os alunos desenvolvem fluência com adição e subtração de dois dígitos. É o ano em que trabalhamos em uma multiplicidade de estratégias de adição e subtração que os alunos podem usar para resolver problemas. Nós gastamos muito tempo discutindo uma variedade de estratégias, usando muitos modelos diferentes, e fazendo matemática mental.

Porquê? Para desenvolver a flexibilidade dos alunos na resolução de problemas matemáticos.

The Common Core Standard for two-digit addition & subtraction is:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.5
Adicionar e subtrair com frequência dentro de 100 usando estratégias baseadas no valor do lugar, propriedades de operações, e/ou a relação entre adição e subtração.

E, o padrão para adição e subtração de três dígitos, para mostrar para onde estamos indo:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.7
Adicionar e subtrair dentro de 1000, usando modelos concretos ou desenhos e estratégias baseadas no valor do lugar, propriedades das operações, e/ou a relação entre adição e subtração; relacionar a estratégia a um método escrito. Entenda que ao adicionar ou subtrair números de três dígitos, um adiciona ou subtrai centenas e centenas, dezenas e dezenas, uns e uns; e às vezes é necessário compor ou decompor dezenas ou centenas.

Em nenhum lugar desses dois padrões diz algo sobre o algoritmo padrão que todos nós aprendemos na escola (muito provavelmente com a linguagem “carry” e “borrow”), nem o algoritmo padrão é abordado diretamente nos Padrões de Núcleo Comum do Segundo Grau. Leia até o final para saber como eu me dirijo ao algoritmo padrão em nossa sala de aula.

Está interessado em um amostrador gratuito de alguns dos meus Produtos de Dois Dígitos de Adição e Subtração?

Strategies vs. Models

If you are familiarized with my Addition & Subtraction Word Problems, you may have not that I make a big distinction between the strategies used when solving problems and the models students employ with those strategies.

As estratégias são geralmente como os alunos abordam e manipulam os números. Os modelos são como as estratégias são organizadas no papel para que os alunos possam explicar ou ver a estratégia.

Quando olho para os padrões acima, posso ver que as estratégias são claramente anotadas no padrão:

Em 2.NBT.B.5 e as estratégias são:

• valor do lugar
• propriedades de operações
• relação entre adição e subtração

Padrão 2.NBT.B.7 observa mesmo que os modelos ou desenhos (que também chamo modelos) estão separados das estratégias que se baseiam em:

• valor de colocação
• propriedades de operações
• relação entre adição e subtração

Como pode ver, as estratégias estão claramente delineadas nas normas. Agora dentro de cada uma das categorias de estratégia geral acima, existem realmente muitas estratégias diferentes que os alunos podem usar e você pode etiquetá-las como quiser em sua sala de aula. Eu gosto de etiquetá-las com os nomes dos alunos como uma referência fácil. Dessa forma, podemos nos referir à estratégia da Samantha ao resolver um problema. Ou você pode rotular a estratégia com a ação que o aluno toma no problema (por exemplo: Add Tens First).

No entanto, eu ainda faço uma distinção entre a estratégia e o modelo. Por quê? Porque os estudantes podem usar múltiplas estratégias com um modelo. Não há uma maneira certa de usar o modelo, desde que o estudante possa explicar o seu pensamento. Os modelos (ou desenhos) apenas dão aos alunos uma ferramenta para explicar o seu pensamento no papel ou com manipulativos. O pensamento, ou o que os alunos fazem com os números, é a estratégia. O que eles usam para mostrar a você é o modelo.

Em toda honestidade, eu nem sempre sou consistente em rotular algo uma estratégia ou um modelo. Eu tento ser, mas como você, sou humano e às vezes os misturo, especialmente quando estou no momento com alunos. É um processo de aprendizagem e algo em que estou continuamente a reflectir ao longo dos anos. Tudo isso para dizer, você pode ver algumas coisas rotuladas de uma maneira e questionar o seu rótulo. Vá em frente e questione, pense sobre isso, reflita e descubra se é preciso ou não. Tudo isso ainda é novo para muitos de nós.

Aqui estão alguns gráficos de âncora que usei nos últimos anos que ilustram alguns dos modelos e estratégias abaixo.

Models for Two-Digit Addition

Below are a few models that we use we do two-digit addition or subtraction. Estes são os únicos modelos que você pode usar? Não, esta não é uma lista exaustiva. Eles são o que eu achei útil na sala de aula para os alunos praticarem e usarem para construir entendimento conceitual e senso numérico.

Linhas numéricas para adição e subtração de dois dígitos

Eu normalmente começo com linhas numéricas quando apresento aos alunos modelos de papel / lápis. Uma linha de numeração aberta é muito flexível. Os alunos podem fazer saltos de um ou dez (ou mais) e facilmente manipulá-la para mostrar seu pensamento matemático.

Eu normalmente ajudo os alunos a chegarem ao 10 mais próximo, ou número amigável ou de referência quando se usa uma linha numérica, porque é mais fácil fazer saltos de 10. Este é um exemplo da diferença entre um modelo e uma estratégia. O modelo é a linha de número. A estratégia é fazer saltos de 10.

Ensinar como usar linhas numéricas ao usar 10 para adicionar +9 e +8 fatos, solidifica esta estratégia quando os alunos estão adicionando números maiores de dois dígitos.

Remembrar, a linha numérica é o modelo e pode ser usada com uma variedade de estratégias. Modelar e praticar usando uma linha numérica com problemas mais fáceis ajudará os alunos ao usar uma linha numérica com problemas mais difíceis.

Uma das atividades diárias que fazemos com linhas numéricas é a nossa Matemática Diária. Esta é uma folha de quadro branco que nós passamos diariamente. A linha de números na parte inferior ajuda os alunos a solidificar o entendimento de como usar uma linha de números e como “fazer 100 ou fazer 1000”.

Aqui estão mais alguns exemplos de como usamos linhas numéricas na sala de aula.

This is from my Roll & Spin Math Stations. Nesta atividade, os alunos praticam saltos de 10 e 100 em uma linha numérica.

Também há versões em que os alunos subtraem 10 e 100 de uma linha numérica. Uma das habilidades que os alunos precisam para ter sucesso nas linhas numéricas é a habilidade de fazer saltos de 10 e 100.

Este é um exemplo de um dos nossos Adicionais & Subtraction Word Problems where students had to figure out a separate start unknown problem. Este aluno começou aos 15 anos e contou 35 saltos e depois tirou um no final. Este também é um ótimo exemplo de compensação (veja abaixo) porque o aluno adicionou um aos 34 para facilitar os saltos e depois o tirou no final.

This is from my Second Grade Cut & Paste Math Activities. Nesta atividade, os alunos estão praticando como somar, começando com o menor número e descobrindo quem chega ao maior número saltando para os números amigáveis. Este aluno começou com 19, pulou para 20, depois fez saltos de 10 a 60 e fez um salto de 3. O aluno adicionou seus saltos juntos para obter 44.

The above are a few examples from my Two-Digit Addition Math Stations. Os meus alunos precisavam de praticar mais directamente com linhas numéricas e fazer saltos, apesar de todo o nosso treino de grupo. Então, eu lhes dei as orientações e os alunos as seguiram nas linhas numéricas.

Um recurso mais recente que desenvolvi para ajudar os alunos a desenvolver a fluência numérica é o recurso Make 100 e Make 1000. Este recurso tem MUITAS atividades onde os alunos praticam o Make 100 e o Make 1000. As linhas numéricas são uma das atividades.

Eu também tenho um post inteiro no blog sobre como usar uma linha numérica com ainda mais exemplos de como desenvolver a fluência da linha numérica na sala de aula.

Base-10 Blocos

Base-10 blocos são outro modelo que eu ensino os alunos a usar; no entanto, eu geralmente ensino os alunos a desenharem os blocos-base 10. Nós usamos blocos de espuma reais na aula, mas eu tento me afastar deles o mais rápido possível.

Por quê? Os alunos sempre terão lápis e papel para resolver problemas, mas nem sempre terão a manipulação disponível para eles. O uso da base – 10 blocos também leva muito tempo. Eu não me importo de gastar tempo com eles, para os alunos que precisam deles, mas também quero empurrar os alunos para ferramentas mais eficientes.

Aqui estão alguns exemplos de como usamos os blocos da base 10:

Os dois acima estão usando base-10 blocks desenhando as dezenas como “sticks”, como nos referimos a eles em nossa sala de aula. Estes alunos em particular estavam tendo dificuldades para contar mais de 100 por dezenas, então eu os fiz desenhar cada número em dezenas, depois contar por dezenas até chegar a 100, depois recomeçar a contar por 10s. Isto não só os ajudou a somar números acima de 100, mas também lhes deu mais despesas com o nosso sistema de números de base 10.

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O exemplo acima é de minhas Estações Matemáticas de Dois Dígitos Adicionais novamente e é apenas um problema básico – resposta que combina com representações de blocos de 10 dígitos da base.

O post do blog Number Line também tem uma atividade visual interessante para ajudar os alunos a transitarem de blocos de 10 dígitos da base para linhas numéricas.

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Estratégias para adição de dois dígitos

Como observado acima, as três principais estratégias mencionadas nos padrões são:

• valor do lugar
• propriedades de operações
• relação entre adição e subtração

Below são algumas estratégias que usamos para resolver problemas de adição de dois dígitos. A maioria delas são baseadas em estratégias de valor de lugar, já que eu acho que elas tendem a ser mais fáceis de entender e aplicar para os alunos. Novamente, estas são as estratégias que os alunos manipulam os números no problema para torná-lo mais fácil de resolver.

Nenhuma estratégia é a estratégia “certa” para cada aluno para cada problema. Alguns problemas se prestam a certas estratégias por causa dos números. Os alunos também podem alternar entre estratégias dentro do mesmo problema, dependendo de como eles estão manipulando os números. A coisa chave a procurar é se o aluno pode explicar seu pensamento ao resolver um problema.

Break Apart or Ungroup (Place Value)

Esta estratégia requer um pouco mais de prática de matemática mental, mas pode ser tão poderosa. A idéia básica é que o número é dividido em dezenas e uns e então, usando uma linha de número, blocos de base 10 ou apenas números, os alunos manipulam as peças para adicionar ou subtrair os números.

Quebrar a parte do número ou desagrupá-la ajuda os alunos a ver o valor do valor do lugar. O lugar das dezenas não é apenas 4. Seu valor é 40 ou 4 dezenas.

Um recurso que ajuda a desenvolver esta estratégia é o livro Number Talks (link afiliado). Nós fazemos conversas numéricas ao longo do ano, começando com fatos de adição e passando para adição e subtração de dois dígitos até o final do ano. Eu adoro ver as estratégias que os meus alunos podem apresentar! O livro Number Talk é também um ótimo livro que ajuda a desenvolver a habilidade de ouvir.

Pense sobre o problema 64-47. Os alunos dividem o problema em 50+14-7-40 e tiram as partes por valor de lugar. Eu provavelmente começaria com o 14-7, mas os alunos poderiam começar em qualquer lugar que faça sentido para eles.

Os exemplos acima vêm das minhas Estações Matemáticas de Dois Dígitos de Adição e ilustram como os alunos podem quebrar números e somar o valor de cada lugar. Quebrar é também chamado de desarticulação ou decomposição, dependendo do programa de matemática utilizado.

Notem que em um dos problemas acima, o aluno adicionou 60 +40 e obteve 106, mas escreveu a resposta correta para o problema? O que você acha que estava acontecendo com esse aluno? Você então ele não conseguiu adicionar 60+40, cometeu um erro bobo, ou há outra razão para ele ter escrito o 106? Ver os alunos interagindo com estes tipos de estratégias lhe dará um lugar para começar conversas com eles sobre seu pensamento matemático.

Mais um exemplo de alguns Cartões de Tarefas de Adição onde os alunos só quebram o segundo número e depois fazem saltos de 10 e 1 usando gráficos de 100s e 1000s. Apesar de darmos muita prática usando um gráfico de 100s na primeira série, eu acho que os alunos não necessariamente transferem seu aprendizado para números maiores na segunda série.

Adicionar Dez para Dez e Um para Um (Place Value)

Esta é muito similar às estratégias de peças de quebra, exceto sem quebrar os números. Os alunos podem adicionar as partes do número (as dezenas ou as dezenas) mentalmente porque conhecem seus fatos de adição. Nós basicamente usamos um modelo em V para traçar linhas conectando as dezenas e adicionando ou subtraindo essas partes.

Aqui está um exemplo de como nós o usamos na sala de aula:

Subtract Tens, Subtract Ones (Place Value)

Similar para adicionar dezenas a dezenas e uns a uns, os alunos subtraem cada valor de lugar separadamente e depois subtraem os de dezenas (ou adicionam). Existem basicamente duas maneiras de usar esta estratégia. Os alunos podem decompor um dez ou os alunos podem usar números negativos.

Uma forma de usar esta estratégia com os alunos é com números negativos. Eu sei que nós não ensinamos números negativos na segunda série, mas para alguns alunos, esta é realmente uma forma que eles entendem e podem se agarrar a mais do que as outras estratégias. Você pode ver exemplos disso nos gráficos da segunda e terceira âncora acima.

Pense em 64-47. Se eu subtrair 4-7, eu recebo -3. Eu digo aos alunos que o número maior tem o sinal de menos na frente e por isso ainda tem mais que precisa ser tirado. Os alunos então subtraem 60-40, obtêm 20 e subtraem mais para obter 17.

Count Down / Think Addition (Count Up) / Add Up (Relação entre Adição & Subtração ou Valor de Lugar)

Não tenho exatamente certeza se esta estratégia é sobre a relação entre adição e subtração ou valor de lugar. A estratégia Pense Adição é similar (se não for a mesma que) Contagem para cima ou adição. Esta estratégia também é muito similar à estratégia de Break Apart, na qual os alunos precisam quebrar pelo menos um dos números separados para soar para cima ou para baixo pelas partes do número.

Embora os alunos possam contar por um, eu os encorajo fortemente a ajudá-los a avançar em direção a estratégias mais eficientes e contar por dezenas e depois por dezenas. Usando um gráfico de centenas, os alunos praticam movendo-se por 10s para cima e para baixo no gráfico. Um gráfico de centenas é como uma linha numérica comprimida. Veja a foto acima com os gráficos de 100s e 1000s.

Aqui estão alguns exemplos de contagem para cima:

Os dois exemplos acima são apenas aqueles que fizemos no quadro branco e eu tive alunos escrevendo em seus cadernos.

Esta é uma página dos meus Livros de Aba de Subtração de Dois Dígitos. Estes Flap Books passam por vários modelos e estratégias diferentes e dão aos alunos a prática com vocabulário e explicação do seu pensamento.

O que ADORO nestes livros flap é que os alunos podem mergulhar profundamente num aspecto de subtracção de dois dígitos e anexar a linguagem aos números e processos que utilizam.

Use Compensation (Properties of Operations)

Esta última estratégia é diferente de qualquer uma das anteriores. Basicamente, tem a certeza de que os números estão equilibrados dentro do problema e que você está contabilizando todas as partes. É um precursor da álgebra e uma ótima estratégia para matemática mental.

Existem algumas maneiras diferentes de usar a compensação, mas a idéia básica é que você adicione ou subtraia algum de um número e adicione-o ao outro número para criar um número amigável. Você tem que manter um registro do que foi adicionado ou tirado e levar isso em conta de alguma forma no problema.

Compensação é especialmente útil para números que estão próximos a números amigáveis, embora possa ser usado para qualquer número. Por exemplo, 68 – 39 poderiam ser transformados em 69 – 40. Eu adicionei um a cada número. O valor de +1 e -1 é 0, então eu não mudei o problema em nada.

Aqui está outro exemplo: 53 + 38. Posso adicionar 53 + 40 e obter 93, mas como adicionei dois ao 38 para obter 40, vou precisar subtrair dois de 93 para obter 91.

A ideia básica com compensação é que você está ajustando uma parte do número em um número amigável para facilitar a adição ou subtração. Entretanto, quando você ajusta um número, você tem que manter o controle do que você ajustou e compensar.

O que os estudantes precisam saber antes de usar estas estratégias?

As estratégias acima são muito poderosas se os estudantes podem adicioná-las ao seu kit de ferramentas quando se aproximam da adição e subtração de dois dígitos. Contudo, para usar eficazmente as estratégias acima, os estudantes precisam de algumas coisas no lugar.

Factos de adição e subtracção – Os estudantes precisam de uma boa fluência com os seus factos de adição e subtracção. Eles precisam de ter todos eles memorizados com rapidez? Não. Entretanto, se os alunos estão gastando muito tempo tentando descobrir um fato de adição e isso os está impedindo de focar na estratégia porque eles esquecem o que estavam fazendo, então eles precisam de mais fluência com seus fatos de adição e subtração. Minhas Avaliações Automáticas ajudam os alunos a praticar seus fatos por estratégia.

Capacidade de encontrar números amigáveis – No início do ano, passamos muito tempo desenvolvendo a fluência com 10 como número de referência. Embora o façamos no início do ano para ajudar na nossa fluência em matemática, também é benéfico quando os alunos começam a sua jornada com a adição e subtração de números de dois dígitos. Os alunos precisam saber como chegar ao próximo número amigável, que é essencialmente o seu 10s facts, mas aplicando-os a números de dois dígitos para encontrar os próximos dez.

Adicionar 10 a um número – Começamos a nossa unidade de adição de dois dígitos com muita prática adicionando e subtraindo dez de um número. Esta é uma habilidade de base tanto nos meus produtos de adição de dois dígitos como nos meus produtos de subtracção de dois dígitos. Os alunos devem ver o padrão de adicionar 10 a um número.

Place Value – Para fazer a adição de dois dígitos, os alunos precisam de uma base forte no conceito de um e dezenas e o que significa separar um número em um e dezenas. Desde o primeiro dia de aula, estamos fazendo exercícios de Matemática Diária que constroem fluência com valor de lugar, bem como saltar a contagem por 10s a partir de qualquer número.

Eu ensino o algoritmo tradicional?

Sim e não. Sim, eu ensino o conceito de reagrupamento e sim, eu ensino os alunos a se moverem em direção à eficiência ao adicionar e subtrair. Isso poderia incluir o algoritmo tradicional se eles conseguirem entender o significado por trás dele.

Os alunos não precisam usar o algoritmo padrão até a quarta série (de acordo com os Common Core Standards). Eles podem fazer isso antes? Talvez.

Exponho-os a ele na segunda classe como um modelo que eles poderiam usar; no entanto, não gastamos muito tempo focado nele, porque eu quero que os alunos desenvolvam estratégias para resolver problemas, não fiquem amarrados a um modelo.

Quando trabalhamos com o algoritmo tradicional, nós anexamos muita linguagem e significado a ele, geralmente amarrando-o ao trabalho que já fizemos, como o nosso trabalho com blocos de base – 10. Aqui estão alguns exemplos de como eu ensino aos alunos o algoritmo tradicional ligando-o a modelos que já usamos e dando aos alunos uma linguagem precisa para explicar o seu pensamento.

Aqui estão alguns exemplos de como eu dou aos alunos experiência com o algoritmo tradicional.

Did you notice that should say 7 ten and 11 ones? O aluno não prestou atenção aos blocos de base -10!

These come from my Decompose a Ten packet, which balances work the traditional algorithm with base-10 models and gives students the language of decomposing numbers.

Whew – isso é muita informação para digerir! Há muitos modelos e estratégias diferentes que um aluno pode usar para resolver problemas de adição e subtração de dois dígitos. O que eu descrevi acima são alguns que eu achei especialmente úteis para os alunos. Eles ajudam os alunos a desenvolver uma base sólida com adição e subtração de dois dígitos, criam uma ponte para adição e subtração de três dígitos, assim como enfatizam a idéia de usar estratégias e modelos para resolver problemas, não apenas seguindo passos em um processo.

Se você ensina na segunda série, você pode gostar de algumas páginas de alguns dos meus produtos de adição e subtração de dois dígitos. Eu compilei este PDF de recursos como um amostrador a partir de vários produtos diferentes que realmente enfatizam todo o trabalho que fazemos em nossa sala de aula para desenvolver estas estratégias em profundidade.

Diferentes componentes do amostrador podem ser usados em grupo inteiro ou pequeno grupo e são perfeitos para ajudar seus alunos a pensar fora da caixa quando se trata de resolver adição e subtração de vários dígitos.

Two-Digit Resources Mentioned Above

Here é uma lista com links de todos os recursos de adição e subtração de dois dígitos mencionados acima. Eles podem ser comprados no meu site ou em Professores Pagam Professores.

• Estações de Matemática de Colagem e Giro
• Atividades de Matemática de Corte e Colagem para Segundo Grau (TpT)
• Centros de Matemática de Dois Dígitos de Adição (TpT)
• Centros de Matemática de Dois Dígitos de Subtração (TpT)
• Cartões de Tarefas de Adição Usando Gráficos de 100s (TpT)
• Dois-Flap Books (TpT)
• Decompose a Ten Task Cards (TpT)

Muitos dos acima mencionados também estão incluídos num BUNDO de Dois Dígitos de Adição e Subtracção (TpT).