Continuando sobre o tema de 15-75-90 triângulos (Veja: Última vez e Primeira vez) vários riffs interessantes em 15-75-90’s em uma caixa surgiram recentemente.
Exemplo dividindo um quadrado com quatro triângulos de 15-75-90:
Como é frequentemente o caso, encontrar a área relativa dos triângulos e do quadrado é direito para a frente usando trigonometria:
Deixe ser o comprimento dos lados do quadrado:
A área de cada triângulo = \frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) e usando as fórmulas de duplo ângulo
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) Então, após a substituição e conhecendo o pecado(30) = \frac{1}{2}) a área = \frac{1}{8}s^2}
Mas por que isso está acontecendo? Como de costume, um triângulo 30-60-90 está geralmente à espreita e permite uma explicação euclidiana.
O que é particularmente interessante nisto é que dá a entender que existem dissecções para transformar um 1/4 ou 1/8 do quadrado maior nos triângulos e com certeza você desliza o triângulo 1/4 ABO até que ele se torne 2 15-75-90′!
> Mas vamos voltar ao problema original. Há outra explicação fácil do que está ocorrendo que usa apenas as proporções do triângulo:
1. Note que a área deste triângulo é \(1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Quadriplicando a hipotenusa obtém-se \(4(2 – \sqrt{3})\ que é 8 vezes a área do triângulo.
3. Ou seja, cada triângulo é 1/8 do quadrado feito na hipotenusa.
> E reencontramos o nosso resultado original.
Outras perguntas: Existem outros triângulos comuns que dividem o quadrado em uma unidade ou fração “simples”.
Deixarei ao leitor para decidir qual problema baseado nesta propriedade é mais divertido (de @eylem e @sansu-seijin):
Dado o quadrado de 6cm de comprimento, quão grande é a região sombreada?