Cálculo numérico
O desenvolvimento de novos métodos de cálculo numérico foi uma resposta às crescentes exigências práticas do cálculo numérico, particularmente em trigonometria, navegação e astronomia. Novas ideias espalharam-se rapidamente pela Europa e resultaram em 1630 numa grande revolução na prática numérica.
Simon Stevin da Holanda, no seu pequeno panfleto La Disme (1585), introduziu fracções decimais na Europa e mostrou como estender os princípios da aritmética hindu-rábica ao cálculo com estes números. Stevin enfatizou a utilidade da aritmética decimal “para todos os relatos que são encontrados nos assuntos dos homens”, e explicou em um apêndice como ela poderia ser aplicada à topografia, estereometria, astronomia e mensuração. Sua idéia era estender o princípio posicional base-10 aos números com partes fracionárias, com uma extensão correspondente de notação para cobrir esses casos. Em seu sistema o número 237.578 foi denotado
em que os dígitos à esquerda do zero são a parte integrante do número. À direita do zero estão os dígitos da parte fracionária, com cada dígito sucedido por um número circulado que indica a potência negativa para a qual 10 é elevado. Stevin mostrou como a aritmética usual dos números inteiros poderia ser estendida para frações decimais, usando regras que determinavam o posicionamento das potências negativas de 10,
Além de sua utilidade prática, La Disme foi significativa pela forma como minou o estilo dominante da geometria grega clássica na matemática teórica. A proposta de Stevin exigiu a rejeição da distinção na geometria euclidiana entre magnitude, que é contínua, e número, que é uma multidão de unidades indivisíveis. Para Euclides, unidade, ou uma, era um tipo especial de coisa, não número, mas a origem, ou princípio, do número. A introdução das frações decimais parecia implicar que a unidade poderia ser subdividida e que a magnitude contínua arbitrária poderia ser representada numericamente; implicitamente supunha o conceito de um número real positivo geral.
Tabelas de logaritmos foram publicadas pela primeira vez em 1614 pelo escocês John Napier em seu tratado Descrição do Cânone Maravilhoso de Logaritmos. Este trabalho foi seguido (postumamente) cinco anos depois por outro em que Napier expôs os princípios usados na construção de suas mesas. A idéia básica por trás dos logaritmos é que adição e subtração são mais fáceis de realizar do que multiplicação e divisão, que, como observou Napier, exigem um “tedioso gasto de tempo” e estão sujeitos a “erros escorregadios”. Pela lei dos expoentes, anam = an + m; ou seja, na multiplicação dos números, os expoentes estão relacionados aditivamente. Ao correlacionar a sequência geométrica dos números a, a2, a3,…(a é chamada de base) e a sequência aritmética 1, 2, 3,…e interpolando para valores fracionários, é possível reduzir o problema da multiplicação e divisão para uma de adição e subtração. Para isso, Napier escolheu uma base muito próxima de 1, diferindo dela por apenas 1/107. A sequência geométrica resultante produziu assim um denso conjunto de valores, adequados para a construção de uma tabela.
Em seu trabalho de 1619 Napier apresentou um interessante modelo cinemático para gerar as sequências geométricas e aritméticas utilizadas na construção de suas tabelas. Suponha que duas partículas se movem ao longo de linhas separadas de determinados pontos iniciais. As partículas começam a mover-se no mesmo instante com a mesma velocidade. A primeira partícula continua a mover-se com uma velocidade decrescente, proporcional a cada instante à distância que fica entre ela e algum dado ponto fixo da linha. A segunda partícula move-se com uma velocidade constante igual à sua velocidade inicial. Dado qualquer incremento de tempo, as distâncias percorridas pela primeira partícula em incrementos sucessivos formam uma sequência geométrica decrescente. As distâncias correspondentes percorridas pela segunda partícula formam uma sequência aritmeticamente crescente. Napier foi capaz de usar este modelo para derivar teoremas que produziam limites precisos para valores aproximados nas duas sequências.
O modelo cinemático de Napier indicou o quão habilidosos os matemáticos se tinham tornado no início do século XVII na análise do movimento não-uniforme. As idéias cinemáticas, que apareceram freqüentemente na matemática da época, forneceram um meio claro e visualizável para a geração da magnitude geométrica. A concepção de uma curva traçada por uma partícula movendo-se no espaço mais tarde desempenhou um papel significativo no desenvolvimento do cálculo.
As idéias de Napier foram retomadas e revisadas pelo matemático inglês Henry Briggs, o primeiro professor Savilian de Geometria em Oxford. Em 1624 Briggs publicou uma extensa tabela de logaritmos comuns, ou logaritmos para a base 10. Como a base não era mais próxima de 1, a tabela não podia ser obtida tão simplesmente como a de Napier, e Briggs, portanto, concebeu técnicas envolvendo o cálculo de diferenças finitas para facilitar o cálculo das entradas. Ele também concebeu procedimentos de interpolação de grande eficiência computacional para obter valores intermediários.
Na Suíça, o fabricante de instrumentos Joost Bürgi chegou à idéia de logaritmos independentemente de Napier, embora ele não tenha publicado seus resultados até 1620. Quatro anos mais tarde uma tabela de logaritmos preparada por Kepler apareceu em Marburg. Tanto Bürgi como Kepler eram observadores astronômicos, e Kepler incluiu tabelas logarítmicas em suas famosas Tabulae Rudolphinae (1627; “Tabelas Rudolphine”), tabulações astronômicas do movimento planetário derivadas usando a suposição de órbitas elípticas sobre o Sol.