Orientação
Como mostrado na figura \PageIndex{5}}, linearidade de área requer que a algumas áreas sejam atribuídos valores negativos. Se compararmos as áreas \\(+1\) e \(-1\), vemos que a única diferença é a de orientação, ou de mão. No caso para o qual atribuímos arbitrariamente área {\i1}(+1}), o vetor b fica no sentido anti-horário do vetor a, mas quando a é flipped, a orientação relativa se torna no sentido horário.
Se você já teve a formação habitual de física calouro, então você viu este assunto tratado de uma forma particular, que é que assumimos uma terceira dimensão para existir, e definimos a área a ser o produto transversal vetorial \(a×b), que é perpendicular ao plano habitado por \(a) e \(b). O problema com esta abordagem é que ela só funciona em três dimensões. Em quatro dimensões, suponhamos que uma se situa ao longo do eixo x, e b ao longo do eixo t. Então, se tivéssemos que definir a(a×b), ela deveria estar numa direção perpendicular a ambas, mas temos mais de uma dessas direções. Poderíamos escolher qualquer coisa no plano 2134>
Para começarmos a abordar esta questão em m dimensões, onde não é necessariamente igual a 3, podemos considerar o volume do paralelepípedo dimensional, com os vectores. Por exemplo, suponhamos que no espaço-tempo dimensional escolhemos os nossos vectores para serem os vectores unitários que se encontram ao longo dos quatro eixos das coordenadas Minkowski, que são Pela experiência com o produto transversal vetorial, que é anticomutativo, esperamos que o sinal do resultado dependa da ordem dos vetores, então vamos levá-los nessa ordem. É claro que existem apenas dois valores razoáveis que poderíamos imaginar para este volume: \(+1) ou (-1). A escolha é arbitrária, por isso fazemos uma escolha arbitrária. Digamos que é para esta ordem. Isto equivale a escolher uma orientação para o espaço-tempo.
Uma suposição oculta e não trivial foi que uma vez feita esta escolha em um ponto do espaço-tempo, ela poderia ser transportada para outras regiões do espaço-tempo de uma forma consistente. Este não precisa ser o caso, como sugerido na figura {6}(PageIndex{6}}.
No entanto, nosso tópico no momento é relatividade especial, e como discutido briefly na seção 2.4, geralmente se assume na relatividade especial que o espaço-tempo é topologicamente trivial, de modo que esta questão surge apenas na relatividade geral, e apenas no espaço-tempo que provavelmente não são modelos realistas de nosso universo.
Desde que o volume é invariante sob rotações e transformações de Lorentz, a nossa escolha de uma orientação é suficiente para fixar uma definição de volume que é invariante de Lorentz. Se os vetores (a), (b), (c) e (d) abrangem um paralelepípedo (4), então a linearidade do volume é expressa dizendo que existe um conjunto de coeficientes de tal forma que
Notando-o desta forma sugere que o interpretamos como uma notação abstrata de índice, Nesse caso, a falta de quaisquer índices em V significa que não se trata apenas de um Lorentz invariante, mas também de um escalar.
Exemplo {2}: Coordenadas HaLFLing
Let \\((t,x,y,z)\) sejam coordenadas Minkowski, e deixe \((t’,x’,y’,z’) = (2t,2x,2y,2z)\). Vamos considerar como cada um dos fatores em nossa equação de volume é afetado à medida que fazemos essa mudança de coordenadas.
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Desde que a nossa convenção é que \\(V\) é um escalar, ele não muda sob uma mudança de coordenadas. Isto nos força a dizer que os componentes de mudança por um fator de \\(1/16\) neste exemplo.
O resultado do Exemplo \(\PageIndex{2}) nos diz que sob a nossa convenção esse volume é um escalar, os componentes de deve mudar quando mudamos de coordenadas. Poderíamos argumentar que seria mais lógico pensar a transformação neste exemplo como uma mudança de unidades, neste caso o valor de \(V\) seria diferente nas novas unidades; esta é uma possível convenção alternativa, mas teria a desvantagem de tornar impossível a leitura das propriedades de transformação de um objeto a partir do número e posição de seus índices. Segundo a nossa convenção, podemos ler as propriedades de transformação desta forma. Embora a secção 7.4 apenas tenha apresentado estas propriedades no caso de tensores de classificação (0) e (1), adiando a descrição geral de tensores de classificação mais elevada para a secção 9.2, as propriedades de transformação da secção 9.2 são, como implícito pelos seus quatro subscritos, as de um tensor de classificação (4). Diferentes autores utilizam diferentes convenções em relação à definição de \epsilon, que foi originalmente descrita pelo matemático Levi-Civita.
Desde que, pela nossa convenção, é um tensor, referimo-nos a ele como o tensor Levi-Civita. Em outras convenções, onde não é um tensor, pode ser referido como o símbolo do Levi-Civita. Como a notação não é padronizada, ocasionalmente colocarei um lembrete ao lado de equações importantes contendo (epsilon) afirmando que este é o tensor (epsilon).
O tensor Levi-Civita tem muitos e muitos índices. Assustador! Imaginem a complexidade desta besta. (Sob.) Temos quatro opções para o primeiro índice, quatro para o segundo, e assim por diante, para que o número total de componentes seja 256. Espera, não tentes alcançar a kleenex. O exemplo seguinte mostra que esta complexidade é ilusória.
Exemplo {3}(PageIndex{3}): Volume em coordenadas Minkowski
Estabelecemos as nossas definições de modo a que para o paralelepípedo… Portanto
por definição, e porque o volume é invariante de Lorentz, isto aplica-se a qualquer conjunto de coordenadas Minkowski.
Se trocarmos entre si, para fazer a lista, o volume torna-se Então
Suponha que pegamos as bordas do nosso paralelepípedo para sermos omitidos e duplicados. Estes quatro vetores não são linearmente independentes, então nosso paralelepípedo é degenerado e tem volume zero.
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Destes exemplos, vemos que uma vez que qualquer elemento de foi fixado, todos os outros também podem ser determinados. A regra é que trocando quaisquer dois índices flips o sinal, e qualquer índice repetido faz com que o resultado seja zero.
Exemplo \PageIndex (3)) mostra que o símbolo chique _(ijkl}}, que parece um hieróglifo maia secreto invocando números diferentes, na verdade codifica apenas um número; cada componente do tensor ou é igual a este número, ou menos este número, ou zero. Suponha que estamos trabalhando em algum conjunto de coordenadas, que pode não ser Minkowski, e queremos encontrar este número. Uma maneira complicada de encontrá-lo seria usar a lei de transformação de tensor para um tensor de classificação (seção 9.2). Uma maneira muito mais simples é fazer uso do determinante da métrica, discutido no Exemplo 6.2.1. Para uma lista de coordenadas ijkl que são ordenadas na ordem que definimos como sendo uma orientação positiva, o resultado é simplesmente {{{ijkl} = {sqrt{esquerda; g {direita; g {direita}). O sinal de valor absoluto é necessário porque uma métrica relativista tem um determinante negativo.
Exemplo \\(\PageIndex{4}}): Coordenadas cartesianas e suas versões halFLIng
Condições euclidianas no plano, de modo que a métrica é uma matriz {\i1}(2×2}), e {\i1}(eepsilon _{\i}) tem apenas dois índices. Em coordenadas cartesianas padrão, a métrica é {\i(g = diag(1,1)}), que tem {\i(det=1}; g = 1\i}. O tensor Levi-Civita, portanto, tem {{{xy} = +1}), e seus outros três componentes são exclusivamente determinados a partir deste pelas regras discutidas no Exemplo {3}PageIndex.) (Poderíamos ter flipped todos os sinais se tivéssemos querido escolher a orientação oposta para o avião). Na forma matricial, estas regras resultam em
Agora transformar para coordenadas \((x’,y’) = (2x,2y)\). Nestas coordenadas, a métrica é \(g’ = diag(1/4,1/4)\), com \(det\; g = 1/16\), de modo que \(\epsilon _{x’y’} = 1/4\), ou em forma matricial,
Exemplo \(\PageIndex{5}}): Coordenadas polares
Em coordenadas polares \\((r,θ)\), a métrica é \(g = diag(1,r^2)\), que tem determinante \(r^2\). O tensor Levi-Civita é
(tomando a mesma orientação que no Exemplo \\(\PageIndex{4}\)).
Exemplo \(\PageIndex{6}}): Área de um círculo
Vamos encontrar a área do círculo da unidade. Sua área (assinada) é
onde a ordem de \(dr) e \(dθ) é escolhida de modo que, com a orientação que temos usado para o plano, o resultado sairá positivo. Usando a definição do tensor Levi-Civita, temos