Równania kwadratowe

Rozwiąż:

Rozwiąż równanie przez odjęcie tego, co jest na prawo od znaku równości od obu stron równania :
200/x-5-(200/2*x)=0

Rozwiązanie krok po kroku :

 100 Simplify ——— 1 

Równanie na koniec kroku 1 :

 200 (——— - 5) - (100 • x) = 0 x 

Krok 2 :

 200 Simplify ——— x 

Equation at the end of step 2 :

 200 (——— - 5) - 100x = 0 x 

Step 3 :

Rewriting the whole as an Equivalent Fraction :

3.1 Odejmowanie całości od ułamka
Zapisz ponownie całość jako ułamek używając x jako mianownika :

 5 5 • x 5 = — = ————— 1 x 

Ułamek równoważny : Tak powstały ułamek wygląda inaczej, ale ma taką samą wartość jak całość
Wspólny mianownik : Ułamek równoważny i drugi ułamek biorący udział w obliczeniach mają ten sam mianownik

Dodawanie ułamków, które mają wspólny mianownik :

3.2 Dodawanie dwóch ułamków równoważnych
Dodaj dwa ułamki równoważne, które teraz mają wspólny mianownik
Połącz liczniki razem, umieść sumę lub różnicę nad wspólnym mianownikiem następnie zredukuj do najniższych wyrazów, jeśli to możliwe:

 200 - (5 • x) 200 - 5x ————————————— = ———————— x x 

Equation at the end of step 3 :

 (200 - 5x) —————————— - 100x = 0 x 

Step 4 :

Rewriting the whole as an Equivalent Fraction :

4.1 Odejmowanie całości od ułamka
Zapisz ponownie całość jako ułamek używając x jako mianownika :

 100x 100x • x 100x = ———— = ———————— 1 x 

Krok 5 :

Wyciąganie wyrazów podobnych :

5.1 Wyciąganie podobnych współczynników :
200 – 5x = -5 – (x – 40)

Dodawanie ułamków, które mają wspólny mianownik :

5.2 Dodawanie dwóch ułamków równoważnych

 -5 • (x-40) - (100x • x) -100x2 - 5x + 200 ———————————————————————— = ————————————————— x x 

Krok 6 :

Wyciąganie ułamków podobnych :

6.1 Wyciąganie podobnych czynników :
-100×2 – 5x + 200 = -5 – (20×2 + x – 40)

Próba faktoryzacji przez dzielenie środkowego wyrazu

6.2 Faktoryzacja 20×2 + x – 40
Pierwszym członem jest, 20×2 jego współczynnik wynosi 20 .
Środkowym członem jest, +x jego współczynnik wynosi 1 .
Ostatnim członem, „stałą”, jest -40
Krok-1 : Pomnożyć współczynnik pierwszego członu przez stałą 20 – -40 = -800
Krok-2 : Znaleźć dwa czynniki -800, których suma jest równa współczynnikowi środkowego członu, który wynosi 1 .

Dla porządku, wydruk 12 wierszy, w których nie udało się znaleźć dwóch takich czynników, został usunięty
Obserwacja : Nie można znaleźć dwóch takich czynników !!!
Wniosek : Trinomial nie może być faktoryzowany

Zapytanie na końcu kroku 6 :

 -5 • (20x2 + x - 40) ———————————————————— = 0 x 

Krok 7 :

Gdy ułamek jest równy zero :

 7.1 When a fraction equals zero ...

Gdy ułamek jest równy zero, jego licznik, część, która jest powyżej linii ułamka, musi być równa zero.

 -5•(20x2+x-40) —————————————— • x = 0 • x x 

Teraz, po lewej stronie, x anuluje mianownik, podczas gdy po prawej stronie, zero razy cokolwiek jest nadal zerem.
Równanie przyjmuje teraz postać :
-5 – (20×2+x-40) = 0

Równania, które nigdy nie są prawdziwe :

7.2 Rozwiąż : -5 = 0
To równanie nie ma rozwiązania.
A niezerowa stała nigdy nie jest równa zero.

Parabola, Znajdowanie wierzchołka :

7.3 Znajdź wierzchołek y = 20×2+x-40
Parabole mają najwyższy lub najniższy punkt zwany wierzchołkiem . Nasza parabola otwiera się i odpowiednio ma najniższy punkt (AKA absolutne minimum). Wiemy to jeszcze przed wykreśleniem „y”, ponieważ współczynnik pierwszego członu, 20 , jest dodatni (większy od zera).
Każda parabola ma pionową linię symetrii, która przechodzi przez jej wierzchołek. Z powodu tej symetrii, linia symetrii będzie, na przykład, przechodzić przez punkt środkowy dwóch x -intercepts (korzeni lub rozwiązań) paraboli. To znaczy, jeśli parabola ma rzeczywiście dwa rzeczywiste rozwiązania.
Parabole mogą modelować wiele rzeczywistych sytuacji życiowych, takich jak wysokość nad ziemią, obiektu rzuconego w górę, po pewnym okresie czasu. Wierzchołek paraboli może dostarczyć nam informacji, np. o maksymalnej wysokości, jaką może osiągnąć wyrzucony w górę obiekt. Z tego powodu chcemy być w stanie znaleźć współrzędne wierzchołka.
Dla dowolnej paraboli,Ax2+Bx+C,współrzędna x wierzchołka jest dana przez -B/(2A) . W naszym przypadku współrzędna x wynosi -0,0250
Podając do wzoru na parabolę -0,0250 dla x możemy obliczyć współrzędną y :
y = 20,0 * -0,03 * -0,03 + 1,0 * -0,03 – 40,0
albo y = -40,013

Parabola, Wykresy Wierzchołków i Punktów X :

Wykres wyjściowy dla : y = 20×2+x-40
Oś symetrii (przerywana) {x}={-0,03}
Wertex at {x,y} = {-0.03,-40.01}
x -Intercepts (Roots) :
Root 1 at {x,y} = {-1.44, 0.00}
Root 2 at {x,y} = { 1.39, 0.00}

Rozwiązywanie równań kwadratowych przez uzupełnianie kwadratu

7.4 Rozwiązywanie równania 20×2+x-40 = 0 przez uzupełnianie kwadratu .
Podziel obie strony równania przez 20, aby mieć 1 jako współczynnik pierwszego członu :
x2+(1/20)x-2 = 0
Dodaj 2 do obu stron równania :
x2+(1/20)x = 2
A teraz sprytne rozwiązanie: Weź współczynnik x , który wynosi 1/20 , podziel go przez dwa, co daje 1/40 , a na koniec podnieś do kwadratu, co daje 1/1600
Dodaj 1/1600 do obu stron równania :
Po prawej stronie mamy :
2 + 1/1600 lub, (2/1)+(1/1600)
Wspólny mianownik tych dwóch ułamków to 1600 Dodanie (3200/1600)+(1/1600) daje 3201/1600
Dodając więc do obu stron otrzymujemy ostatecznie :
x2+(1/20)x+(1/1600) = 3201/1600
Dodanie 1/1600 uzupełniło lewą stronę do kwadratu doskonałego :
x2+(1/20)x+(1/1600) =
(x+(1/40)) – (x+(1/40)) =
(x+(1/40))2
Rzeczy, które są równe tej samej rzeczy, są też równe sobie nawzajem. Skoro
x2+(1/20)x+(1/1600) = 3201/1600 i
x2+(1/20)x+(1/1600) = (x+(1/40))2
to zgodnie z prawem przechodniości,
(x+(1/40))2 = 3201/1600
Równanie to nazywamy równaniem. #7.4.1
Zasada pierwiastka kwadratowego mówi, że gdy dwie rzeczy są równe, to ich pierwiastki kwadratowe są równe.
Zauważ, że pierwiastek kwadratowy z
(x+(1/40))2 to
(x+(1/40))2/2 =
(x+(1/40))1 =
x+(1/40)
Teraz, stosując Zasadę pierwiastka kwadratowego do równania. #7.4.1 otrzymujemy:
x+(1/40) = √ 3201/1600
Odejmij 1/40 od obu stron, aby otrzymać:
x = -1/40 + √ 3201/1600
Ponieważ pierwiastek kwadratowy ma dwie wartości, jedną dodatnią, a drugą ujemną
x2 + (1/20)x – 2 = 0
ma dwa rozwiązania:
x = -1/40 + √ 3201/1600
lub
x = -1/40 -. √ 3201/1600
Zauważ, że √ 3201/1600 można zapisać jako
√ 3201 / √ 1600 czyli √ 3201 / 40

Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru na kwadraty

7.5 Rozwiązywanie równania 20×2+x-40 = 0 za pomocą wzoru na czworokąt .
Zgodnie ze wzorem na czworokąt, x , rozwiązanie równania Ax2+Bx+C = 0 , gdzie A, B i C są liczbami, często nazywanymi współczynnikami, jest dane przez :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
W naszym przypadku, A = 20
B = 1
C = -40
Zgodnie z tym, B2 – 4AC =
1 – (-3200) =
3201
Zastosowując wzór na kwadrat :
-1 ± √ 3201
x = ——
40
√ 3201 , w zaokrągleniu do 4 cyfr po przecinku, wynosi 56.5774
Więc teraz patrzymy na:
x = ( -1 ± 56.577 ) / 40
Dwa rozwiązania rzeczywiste:
x =(-1+√3201)/40= 1.389
lub:
x =(-1-√3201)/40=-1.439

Znaleziono dwa rozwiązania :

.