Druga klasa jest bardzo ważnym rokiem, w którym uczniowie rozwijają biegłość w dwucyfrowym dodawaniu i odejmowaniu. Jest to rok, w którym pracujemy nad wieloma strategiami dodawania i odejmowania, które uczniowie mogą wykorzystać do rozwiązywania problemów. Spędzamy dużo czasu omawiając różne strategie, używając wielu różnych modeli i wykonując matematykę umysłową.
Dlaczego? Aby rozwijać elastyczność uczniów podczas rozwiązywania problemów matematycznych.
The Common Core Standard for two-digit addition & subtraction is:
CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.5
Płynnie dodaje i odejmuje w zakresie 100, stosując strategie oparte na wartości miejsc, własnościach działań i/lub związkach między dodawaniem i odejmowaniem.
A standard dla trzycyfrowego dodawania i odejmowania, aby pokazać, dokąd zmierzamy:
CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.7
Dodawać i odejmować w zakresie 1000, używając konkretnych modeli lub rysunków i strategii opartych na wartości miejsc, własnościach działań i/lub związku pomiędzy dodawaniem i odejmowaniem; odnieść strategię do metody pisemnej. Zrozumienie, że w dodawaniu i odejmowaniu liczb trzycyfrowych, dodaje się lub odejmuje setki i setki, dziesiątki i dziesiątki, jedynki i jedynki; i czasami konieczne jest złożenie lub rozłożenie dziesiątek lub setek.
Nigdzie w tych dwóch standardach nie mówi się nic o standardowym algorytmie, którego wszyscy nauczyliśmy się w szkole (najprawdopodobniej za pomocą języka „przenoszenia” i „pożyczania”), ani standardowy algorytm nie jest bezpośrednio omówiony w Second Grade Common Core Standards. Przeczytaj do końca, aby dowiedzieć się, jak ja odnoszę się do standardowego algorytmu w naszej klasie.
Czy jesteś zainteresowany darmowym próbnikiem niektórych z moich produktów dodawania i odejmowania dwucyfrowego?
Strategie vs. Modele
Jeśli jesteś zaznajomiony z moimi problemami z dodawaniem &odejmowaniem, być może zauważyłeś, że robię duże rozróżnienie między strategiami używanymi podczas rozwiązywania problemów i modelami, które studenci stosują z tymi strategiami.
Patrząc na powyższe standardy widzę, że strategie są wyraźnie zaznaczone w standardzie:
W 2.NBT.B.5 a strategie to:
- wartość miejsca
- właściwości działań
- związek między dodawaniem i odejmowaniem
Standard 2.NBT.B.7 nawet zauważa, że modele lub rysunki (które ja również nazywam modelami) są oddzielone od strategii, które są oparte na:
- wartości miejsc
- właściwości działań
- relacja między dodawaniem i odejmowaniem
Jak widzicie, strategie są wyraźnie nakreślone w standardach. W każdej z powyższych kategorii strategii istnieje wiele różnych strategii, których uczniowie mogą używać i można im nadać dowolne etykiety w klasie. Ja lubię oznaczać je imionami uczniów, by ułatwić sobie odniesienie. W ten sposób możemy odnieść się do strategii Samanthy podczas rozwiązywania zadania. Można też oznaczyć strategię działaniem, które uczeń wykonuje w zadaniu (na przykład: Add Tens First).
Jednakże, nadal rozróżniam pomiędzy strategią a modelem. Dlaczego? Ponieważ uczniowie mogą używać wielu strategii z jednym modelem. Nie ma jednego właściwego sposobu użycia modelu, o ile uczeń potrafi wyjaśnić swój tok myślenia. Modele (lub rysunki) dają uczniom jedynie narzędzie do wyjaśnienia ich sposobu myślenia na papierze lub za pomocą manipulatorów. Myślenie, czyli to, co uczniowie robią z liczbami, jest strategią. To, czego używają, aby to pokazać, to model.
Szczerze mówiąc, nie zawsze jestem konsekwentna w określaniu czegoś jako strategii lub modelu. Staram się być, ale tak jak ty, jestem człowiekiem i czasami je mieszam, zwłaszcza gdy jestem w danym momencie z uczniami. Jest to proces uczenia się i coś, nad czym nieustannie się zastanawiam przez te wszystkie lata. Wszystko to po to, aby powiedzieć, że możesz zobaczyć kilka rzeczy oznaczonych w jeden sposób i zakwestionować ich etykietę. Śmiało, zakwestionuj ją, pomyśl o niej, zastanów się, czy jest dokładna, czy nie. Wszystko to jest wciąż nowe dla wielu z nas.
Tutaj są niektóre wykresy kotwic, które używałem w ciągu ostatnich kilku lat, które ilustrują niektóre z poniższych modeli i strategii.
Modele dla dwucyfrowego dodawania
Poniżej znajduje się kilka modeli, których używamy do dwucyfrowego dodawania i odejmowania. Czy są to jedyne modele, których możesz używać? Nie, to nie jest wyczerpująca lista. Są to modele, które uznałem za użyteczne w klasie dla uczniów, aby ćwiczyć i używać do budowania pojęciowego zrozumienia i poczucia liczby.
Linie numeryczne dla dwucyfrowego dodawania i odejmowania
Zazwyczaj zaczynam od linii numerycznych, kiedy wprowadzam uczniów do modeli papier/ołówek. Otwarta linia numeryczna jest bardzo elastyczna. Uczniowie mogą wykonywać skoki o jeden lub dziesięć (lub więcej) i łatwo nią manipulować, aby pokazać swoje myślenie matematyczne.
Zazwyczaj pomagam uczniom dostać się do najbliższej 10, lub przyjaznej lub wzorcowej liczby podczas używania linii liczbowej, ponieważ łatwiej jest robić skoki o 10. To jest przykład różnicy między modelem a strategią. Modelem jest linia liczbowa. Strategia to robienie skoków o 10.
Nauczanie, jak korzystać z linii numerycznych podczas używania 10 do dodawania +9 i +8 faktów, utrwala tę strategię, gdy uczniowie dodają większe liczby dwucyfrowe.
Pamiętaj, linia numeryczna jest modelem i może być używana z różnymi strategiami. Modelowanie i ćwiczenie używania linii liczbowej z łatwiejszymi problemami pomoże uczniom w używaniu linii liczbowej z trudniejszymi problemami.
Jedną z codziennych czynności, które wykonujemy z liniami liczbowymi jest nasza Codzienna matematyka. Jest to arkusz na tablicy, z którym zapoznajemy się codziennie. Linia liczbowa na dole pomaga uczniom ugruntować ich zrozumienie zarówno jak używać linii liczbowej jak i jak „zrobić 100 lub zrobić 1000”.
Tutaj jest jeszcze kilka przykładów, jak używamy linii liczbowych w klasie.
To jest z mojego Roll & Spin Math Stations. W tym ćwiczeniu, uczniowie ćwiczą wykonywanie skoków o 10 i 100 w górę linii liczbowej.
-
Roll and Spin Math Games$3.75
Istnieją również wersje, w których studenci odejmują 10 i 100 w dół linii liczbowej, zbyt. Jedną z umiejętności potrzebnych uczniom do osiągnięcia sukcesu na liniach liczbowych jest zdolność do wykonywania skoków o 10 i 100.
To jest przykład z jednego z naszych Addition & Subtraction Word Problems, gdzie studenci musieli wymyślić oddzielny problem z nieznanym początkiem. Ten student zaczął od 15 i liczył 35 skoków, a następnie zabrał jeden na końcu. Jest to również świetny przykład kompensacji (patrz poniżej), ponieważ uczeń dodał jeden do 34, aby ułatwić skoki, a następnie zabrał go na końcu.
To jest z mojej drugiej klasy Cut & Paste Math Activities. W tym ćwiczeniu uczniowie ćwiczą dodawanie, zaczynając od najmniejszej liczby i zastanawiając się, kto dojdzie do większej liczby, przeskakując na inne liczby. Ten uczeń zaczął od 19, skoczył do 20, a następnie wykonał skok o 10 do 60 i wykonał skok o 3. Uczeń dodał swoje skoki razem, aby uzyskać 44.
Powyżej znajduje się kilka przykładów z moich Dwucyfrowych Stacji Dodawania. Moi uczniowie potrzebowali więcej bezpośrednich ćwiczeń z liniami liczbowymi i wykonywaniem skoków, pomimo wszystkich naszych ćwiczeń w całej grupie. Dałam im więc wskazówki i uczniowie postępowali zgodnie z nimi na liniach liczbowych.
Najnowszym materiałem, który opracowałam, aby pomóc uczniom w rozwijaniu płynności liczbowej, jest materiał Zrób 100 i zrób 1000. Ten materiał zawiera wiele ćwiczeń, w których uczniowie ćwiczą robienie 100 i 1000. Linie numeryczne są jednym z ćwiczeń.
Mam również cały wpis na blogu o tym, jak używać linii liczbowych z jeszcze większą liczbą przykładów, jak rozwijać płynność linii liczbowych w klasie.
Bloki bazowe-10
Bloki bazowe-10 są kolejnym modelem, którego uczę studentów używać; jednakże, generalnie uczę studentów rysować bloki bazowe-10. W klasie używamy prawdziwych bloków piankowych, ale staram się od nich odchodzić tak szybko, jak to możliwe.
Dlaczego? Uczniowie zawsze będą mieli ołówek i papier do rozwiązywania problemów, ale nie zawsze będą mieli do dyspozycji manipulatory. Używanie klocków base-10 również zajmuje dużo czasu. Nie mam nic przeciwko spędzaniu czasu na nich, dla uczniów, którzy ich potrzebują, ale chcę również popchnąć uczniów w kierunku bardziej efektywnych narzędzi.
Oto kilka przykładów jak używamy klocków base-10:
Powyższa dwójka używa klocków base-10 rysując dziesiątki jako „patyczki”, jak je nazywamy w naszej klasie. Ci szczególni uczniowie mieli trudności z liczeniem dziesiątek powyżej 100, więc kazałam im narysować każdą liczbę w dziesiątkach, następnie liczyć dziesiątkami aż do 100, a potem zacząć od nowa licząc dziesiątkami. Nie tylko to pomogło im dodać numery powyżej 100, ale także dał im więcej wydatków z naszego systemu liczbowego base-10.
Powyższy przykład pochodzi z mojego bloga Two-Digit Addition Math Stations again i jest tylko podstawowym problemem – dopasowanie odpowiedzi z reprezentacją bloków bazowych-10.
Post na blogu Number Line ma również interesującą aktywność wizualną, aby pomóc uczniom przejść z bloków bazowych-10 na linie liczbowe.
Strategie dla dwucyfrowego dodawania
Jak wspomniano powyżej, główne trzy strategie wymienione w standardach to:
- wartość miejsca
- właściwości działań
- związek pomiędzy dodawaniem i odejmowaniem
Poniżej znajduje się kilka strategii, których używamy do rozwiązywania dwucyfrowych problemów z dodawaniem. Większość z nich oparta jest na strategiach wartości miejsca, ponieważ uważam, że są one łatwiejsze do zrozumienia i zastosowania przez uczniów. Ponownie, jest to sposób, w jaki uczniowie manipulują liczbami w problemie, aby ułatwić jego rozwiązanie.
Żadna strategia nie jest „właściwą” strategią dla każdego ucznia w każdym problemie. Niektóre problemy nadają się do pewnych strategii ze względu na liczby. Uczniowie mogą również zmieniać strategie w ramach tego samego zadania, w zależności od tego, jak manipulują liczbami. Kluczową rzeczą, na którą należy zwrócić uwagę jest to, czy uczeń potrafi wyjaśnić swój sposób myślenia podczas rozwiązywania problemu.
Rozbijanie lub Rozgrupowanie (Wartość Miejsca)
Ta strategia wymaga nieco więcej praktyki w zakresie matematyki umysłowej, ale może być bardzo skuteczna. Podstawową ideą jest to, że liczba jest rozbijana na dziesiątki i jedynki, a następnie, używając linii liczbowej, klocków base-10 lub po prostu liczb, uczniowie manipulują kawałkami, aby dodać lub odjąć liczby.
Rozbijanie części liczby lub jej grupowanie pomaga uczniom dostrzec wartość wartości miejsca. Miejsce dziesiąte to nie tylko 4. Jego wartość to 40 lub 4 dziesiątki.
Jednym z zasobów, który pomaga rozwijać tę strategię jest książka Number Talks (link afiliacyjny). Rozmowy o liczbach prowadzimy przez cały rok, zaczynając od dodawania faktów i przechodząc do dwucyfrowego dodawania i odejmowania pod koniec roku. Uwielbiam patrzeć na strategie, które moi uczniowie potrafią wymyślić! Książka Rozmowy o liczbach jest również świetną książką, która pomaga rozwijać umiejętności słuchania.
Pomyśl o problemie 64-47. Uczniowie dzielą problem na 50+14-7-40 i odejmują części według wartości miejsc. Prawdopodobnie zacznę od 14-7, ale uczniowie mogą zacząć gdziekolwiek, co ma dla nich sens.
Powyższe przykłady pochodzą z moich dwucyfrowych stacji matematycznych dodawania i ilustrują jak uczniowie mogą rozdzielić liczby i dodać każdą wartość miejsca. Rozbijanie jest również nazywane rozdzielaniem lub rozkładaniem, w zależności od programu matematycznego, którego używasz.
Czy zauważyłeś, że w jednym z powyższych problemów, uczeń dodał 60 +40 i otrzymał 106, a mimo to napisał poprawną odpowiedź? Jak myślisz, co się działo z tym uczniem? Czy uważasz, że nie mógł dodać 60+40, popełnił głupi błąd, czy może jest jakiś inny powód, dla którego napisał 106? Widząc uczniów interakcji z tych typów strategii daje miejsce rozpocząć rozmowy z nimi o ich matematycznego myślenia.
Jeszcze jeden przykład z niektórych Kart Zadań Dodawania, gdzie uczniowie tylko rozbijają drugą liczbę, a następnie wykonują skoki 10 i 1 używając wykresów 100s i 1000s. Chociaż dajemy dużo praktyki używając wykresu 100s w pierwszej klasie, stwierdzam, że uczniowie niekoniecznie przenoszą swoją naukę na większe liczby w drugiej klasie.
Dodawaj dziesiątki do dziesiątek i jedynki do jedynek (wartość miejsc)
To jest bardzo podobne do strategii łamania części, z wyjątkiem bez łamania liczb. Uczniowie mogą dodawać części liczby (dziesiątki lub jedynki) razem mentalnie, ponieważ znają fakty dotyczące dodawania. W zasadzie używamy modelu v do rysowania linii łączących dziesiątki i dodawania lub odejmowania tych części.
Tutaj jest jeden przykład jak używaliśmy tego w klasie:
Subtract Tens, Subtract Ones (Place Value)
Podobnie do dodawania dziesiątek do dziesiątek i jedynek do jedynek, studenci odejmują każdą wartość miejsca osobno, a następnie odejmują jedynki od dziesiątek (lub dodają je). Istnieją zasadniczo dwa sposoby użycia tej strategii. Uczniowie mogą dekomponować dziesiątki lub uczniowie mogą używać liczb ujemnych.
Jeden sposób, że używam tej strategii z uczniami jest z liczbami ujemnymi. Wiem, że nie uczymy liczb ujemnych w drugiej klasie, ale dla niektórych uczniów jest to naprawdę sposób, który rozumieją i mogą trzymać się bardziej niż inne strategie. Możesz zobaczyć przykłady tego w drugim i trzecim wykresie kotwicy powyżej.
Pomyśl o 64-47. Jeśli odejmę 4-7, otrzymam -3. Mówię uczniom, że większa liczba ma przed sobą znak minus, a więc wciąż ma więcej, co trzeba odjąć. Uczniowie następnie odejmują 60-40, otrzymują 20 i odejmują tam więcej, aby otrzymać 17.
Count Down / Think Addition (Count Up) / Add Up (Relationship between Addition & Subtraction or Place Value)
Nie jestem do końca pewna, czy ta strategia dotyczy relacji między dodawaniem i odejmowaniem, czy wartości miejsc. Strategia Pomyśl o dodawaniu jest podobna (jeśli nie taka sama jak) Policz do góry lub Dodaj do góry. Strategia ta jest również bardzo podobna do Strategii Rozbijania, w tym sensie, że uczniowie muszą rozbić co najmniej jedną z liczb na części, aby brzmieć w górę lub w dół według części liczby.
Chociaż uczniowie potrafią liczyć jedynkami, bardzo zachęcam do pomocy im w przejściu do bardziej efektywnych strategii i liczenia dziesiątkami, a następnie jedynkami. Używanie diagramu setek pozwala uczniom ćwiczyć poruszanie się po dziesiątkach w górę i w dół diagramu. Tabela setek jest czymś w rodzaju skompresowanej linii liczbowej. Zobacz powyższe zdjęcie z wykresami 100s i 1000s.
Oto kilka przykładów liczenia w górę:
Powyższe dwa przykłady są tylko te, które zrobiliśmy na tablicy i kazałem uczniom zapisać w ich zeszytach.
To jest strona z moich Książeczek z Klapkami o Odejmowaniu Dwucyfrowym. Te Książki z Klapkami przechodzą przez kilka różnych modeli i strategii i dają uczniom praktykę ze słownictwem i wyjaśnianiem ich myślenia.
To co kocham w tych książkach z klapkami to to, że uczniowie mogą zagłębić się w jeden aspekt dwucyfrowego odejmowania i dołączyć język do liczb i procesów, których używają.
Use Compensation (Properties of Operations)
Ta ostatnia strategia jest niepodobna do żadnej z poprzednich. To w zasadzie ma cię upewnić się, że liczby są zrównoważone w ramach problemu i że jesteś rachunkowości dla wszystkich części. Jest to prekursor algebry i świetna strategia dla matematyki umysłowej.
Jest kilka różnych sposobów użycia kompensacji, ale podstawowa idea jest taka, że dodajesz lub odejmujesz część jednej liczby i dodajesz ją do innej liczby, aby stworzyć przyjazną liczbę. Musisz śledzić, co zostało dodane lub zabrane i rozliczyć się z nim jakoś w problem.
Kompensacja jest szczególnie przydatne dla liczb, które są blisko przyjaznych liczb, chociaż może być używany do każdej liczby. Na przykład, 68 – 39 może być przekształcone w 69 – 40. Do każdej liczby dodałem jeden. Wartość a +1 i -1 wynosi 0, więc w ogóle nie zmieniłem problemu.
Oto inny przykład: 53 + 38. Mogę dodać 53 + 40 i otrzymać 93, ale ponieważ dodałem dwa do 38, aby dostać się do 40, będę musiał odjąć dwa od 93, aby uzyskać 91.
Podstawową ideą z kompensacją jest to, że dostosowujesz jedną część liczby do przyjaznej liczby, aby ułatwić dodawanie lub odejmowanie. Jednakże, kiedy dostosowujesz jedną liczbę, musisz śledzić, co dostosowałeś i kompensować to.
Co uczniowie muszą wiedzieć przed użyciem tych strategii?
Powyższe strategie są bardzo potężne, jeśli uczniowie mogą dodać je do swojego zestawu narzędzi, kiedy podchodzą do dwucyfrowego dodawania i odejmowania. Jednakże, aby efektywnie korzystać z powyższych strategii, uczniowie potrzebują kilku rzeczy na swoim miejscu.
Fakty dodawania i odejmowania – Uczniowie potrzebują dość dobrej biegłości w faktach dodawania i odejmowania. Czy muszą je wszystkie szybko zapamiętać? Nie. Jednakże, jeśli uczniowie spędzają zbyt dużo czasu próbując zrozumieć fakt dodawania i to powstrzymuje ich od skupienia się na strategii, ponieważ zapominają co robili, wtedy potrzebują większej płynności z faktami dodawania i odejmowania. Moje Oceny Automatyczności pomagają uczniom ćwiczyć fakty według strategii.
Umiejętność znajdowania przyjaznych liczb – Na początku roku spędzamy dużo czasu na rozwijaniu płynności z 10 jako liczbą wzorcową. Chociaż robimy to na początku roku, aby pomóc w naszej płynności faktów matematycznych, jest to również korzystne, gdy uczniowie zaczynają swoją podróż z dodawaniem i odejmowaniem liczb dwucyfrowych. Uczniowie muszą wiedzieć, jak dostać się do następnej przyjaznej liczby, która jest zasadniczo ich faktami 10s, ale stosując je do liczb dwucyfrowych, aby znaleźć następną dziesiątkę.
Dodawanie 10 do liczby – Zaczynamy naszą dwucyfrową jednostkę dodawania z dużą ilością praktyki dodawania i odejmowania dziesięciu od liczby. Jest to podstawowa umiejętność zarówno w dwucyfrowych produktach dodawania jak i w dwucyfrowych produktach odejmowania. Uczniowie muszą widzieć wzór dodawania 10 do liczby.
Wartość miejscowa – Aby wykonać dodawanie dwucyfrowe, uczniowie potrzebują mocnych podstaw w koncepcji jedynek i dziesiątek i co to znaczy rozbić liczbę na jedynki i dziesiątki. Od pierwszego dnia szkoły, wykonujemy codzienne ćwiczenia matematyczne, które budują biegłość z wartością miejsca, jak również pomijanie liczenia przez 10 z dowolnej liczby.
Czy uczę tradycyjnego algorytmu?
Tak i nie. Tak, uczę koncepcji przegrupowania i tak, uczę uczniów, aby podążali w kierunku wydajności podczas dodawania i odejmowania. To może obejmować tradycyjny algorytm, jeśli są w stanie zrozumieć znaczenie kryjące się za nim.
Uczniowie nie muszą używać standardowego algorytmu do czwartej klasy (zgodnie z Common Core Standards). Czy mogą to zrobić wcześniej? Może.
Przedstawiam im go w drugiej klasie jako model, którego mogą użyć; jednakże nie spędzamy na nim dużo czasu, ponieważ chcę, aby uczniowie rozwinęli strategie rozwiązywania problemów, a nie byli przywiązani do jednego modelu.
Gdy pracujemy z tradycyjnym algorytmem, przywiązujemy do niego dużo języka i znaczenia, generalnie wiążąc go z pracą, którą już wykonaliśmy, jak nasza praca z klockami base-10. Oto kilka przykładów, jak uczę uczniów tradycyjnego algorytmu, łącząc go z modelami, których już używaliśmy i dając uczniom dokładny język do wyjaśnienia ich myślenia.
Oto kilka przykładów, jak daję uczniom doświadczenie z tradycyjnym algorytmem.
Czy zauważyłeś, że powinno być 7 dziesiątek i 11 jedynek? Student nie zwrócił uwagi na bloki base-10!
Te pochodzą z mojego pakietu Decompose a Ten, który równoważy pracę tradycyjnego algorytmu z modelami base-10 i daje uczniom język rozkładania liczb.
-
Decompose a Ten$3.75
Whew – to dużo informacji do przetrawienia! Istnieje wiele różnych modeli i strategii, które uczeń może wykorzystać do rozwiązywania dwucyfrowych problemów z dodawaniem i odejmowaniem. To co przedstawiłem powyżej to kilka, które uważam za szczególnie pomocne dla uczniów. Pomagają one uczniom rozwinąć solidne podstawy dwucyfrowego dodawania i odejmowania, tworzą pomost do trzycyfrowego dodawania i odejmowania, jak również podkreślają ideę używania strategii i modeli do rozwiązywania problemów, a nie tylko podążania za krokami w procesie.
Jeśli uczysz drugą klasę, możesz polubić kilka stron z niektórych z moich produktów dotyczących dwucyfrowego dodawania i odejmowania. Skompilowałem ten plik PDF z zasobami jako próbnik z kilku różnych produktów, które naprawdę podkreślają całą pracę, jaką wykonujemy w naszej klasie, aby rozwinąć te strategie dogłębnie.
Różne składniki próbnika mogą być używane w całej grupie lub w małych grupach i są idealne, aby pomóc uczniom myśleć nieszablonowo, jeśli chodzi o rozwiązywanie wielocyfrowego dodawania i odejmowania.
Two-Digit Resources Mentioned Above
Tutaj jest lista z linkami wszystkich dwucyfrowych zasobów dodawania i odejmowania wspomnianych powyżej. Można je kupić na mojej stronie internetowej lub na Teachers Pay Teachers.
- Roll and Spin Math Stations
- Cut and Paste Math Activities for Second Grade (TpT)
- Two-Digit Addition Math Centers (TpT)
- Two-Digit Subtraction Math Centers (TpT)
- Addition Task Cards Using 100s Charts (TpT)
- Two-Digit Subtraction Flap Books (TpT)
- Decompose a Ten Task Cards (TpT)
Wiele z powyższych jest również zawartych w Two-Digit Addition and Subtraction BUNDLE (TpT).