Kontynuując temat trójkątów 15-75-90 (Patrz: Last time i First time) pojawiło się ostatnio kilka ciekawych riffów na temat 15-75-90’s in a box.
Przykład dzielenia kwadratu czterema trójkątami 15-75-90:
Jak to często bywa, znalezienie względnej powierzchni trójkątów i kwadratu jest proste przy użyciu trygonometrii:
Pozwólmy s być długością boków kwadratu:
Pole powierzchni każdego z trójkątów = ^2 cos(15)sin(15) ^2 oraz korzystając ze wzorów na kąty podwójne
(sin(30)=2sin(15)cos(15)^2) więc po podstawieniu i wiedząc, że sin(30) = \(\frac{1}{2}}) wyskakuje pole = \(\frac{1}{8}s^2\)
Ale dlaczego tak się dzieje? Jak zwykle w pobliżu czai się trójkąt 30-60-90, który pozwala na euklidesowe wyjaśnienie.
Co jest w tym szczególnie interesujące, to wskazówka, że istnieją rozbiory pozwalające przekształcić 1/4 lub 1/8 większego kwadratu w trójkąty i na pewno wystarczy przesunąć 1/4 trójkąta ABO, aż stanie się 2 15-75-90′!
Ale wróćmy do pierwotnego problemu. Jest jeszcze jedno proste wyjaśnienie tego, co się dzieje, które po prostu wykorzystuje proporcje trójkąta:
1. Zauważ, że pole tego trójkąta wynosi \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Po podniesieniu do kwadratu przeciwprostokątnej otrzymujemy \(4(2 – \sqrt{3})\), co stanowi 8-krotność pola trójkąta.
3. Innymi słowy, każdy trójkąt to 1/8 kwadratu utworzonego na przeciwprostokątnej.
I w ten sposób odnaleźliśmy nasz pierwotny wynik.
Dalsze pytania: Czy istnieją inne popularne trójkąty, które dzielą kwadrat na jednostkę lub „prosty” ułamek.
Pozostawiam czytelnikowi decyzję, który problem oparty na tej własności jest fajniejszy (od @eylem i @sansu-seijin):
Given the square of length 6cm, how large is the shaded region?
.