Obliczenia numeryczne
Rozwój nowych metod obliczeń numerycznych był odpowiedzią na wzrost praktycznych potrzeb obliczeń numerycznych, zwłaszcza w trygonometrii, nawigacji i astronomii. Nowe idee szybko rozprzestrzeniały się w Europie i do 1630 roku doprowadziły do poważnej rewolucji w praktyce numerycznej.
Simon Stevin z Holandii, w swojej krótkiej broszurze La Disme (1585), wprowadził ułamki dziesiętne do Europy i pokazał, jak rozszerzyć zasady arytmetyki hindusko-arabskiej na obliczenia z tymi liczbami. Stevin podkreślał użyteczność arytmetyki dziesiętnej „dla wszystkich rachunków, które spotyka się w sprawach ludzkich”, a w dodatku wyjaśnił, jak można ją zastosować w geodezji, stereometrii, astronomii i menzurze. Jego pomysł polegał na rozszerzeniu zasady pozycyjnej bazy 10 na liczby z częściami ułamkowymi, z odpowiednim rozszerzeniem notacji, aby objąć te przypadki. W jego systemie liczba 237,578 była oznaczana
w którym cyfry na lewo od zera są integralną częścią liczby. Na prawo od zera znajdują się cyfry części ułamkowej, a każda cyfra jest poprzedzona zakreśloną liczbą, która wskazuje ujemną potęgę, do której podniesiono 10. Stevin pokazał, jak zwykłą arytmetykę liczb całkowitych można rozszerzyć na ułamki dziesiętne, stosując reguły, które określały położenie ujemnych potęg 10.
Oprócz praktycznej użyteczności, La Disme była istotna ze względu na sposób, w jaki podważała dominujący styl klasycznej greckiej geometrii w matematyce teoretycznej. Propozycja Stevina wymagała odrzucenia rozróżnienia w geometrii euklidesowej między wielkością, która jest ciągła, a liczbą, która jest mnogością niepodzielnych jednostek. Dla Euklidesa jedność, czyli jedność, była czymś szczególnym, nie liczbą, lecz źródłem lub zasadą liczby. Wprowadzenie ułamków dziesiętnych zdawało się sugerować, że jednostka może być podzielona i że dowolna wielkość ciągła może być reprezentowana liczbowo; implicite zakładało koncepcję ogólnej dodatniej liczby rzeczywistej.
Tablice logarytmów zostały po raz pierwszy opublikowane w 1614 roku przez szkockiego lairda Johna Napiera w jego traktacie Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Praca ta została wydana (pośmiertnie) pięć lat później, a następnie opublikowano kolejną, w której Napier przedstawił zasady konstruowania swoich tablic. Podstawową ideą logarytmów jest to, że dodawanie i odejmowanie jest łatwiejsze do wykonania niż mnożenie i dzielenie, które, jak zauważył Napier, wymagają „żmudnych nakładów czasu” i są narażone na „śliskie błędy”. Zgodnie z prawem wykładników, anam = an + m; to znaczy, że w mnożeniu liczb wykładniki są związane addytywnie. Poprzez skorelowanie ciągu geometrycznego liczb a, a2, a3,… (a nazywamy podstawą) z ciągiem arytmetycznym 1, 2, 3,… i interpolację do wartości ułamkowych, można zredukować problem mnożenia i dzielenia do problemu dodawania i odejmowania. W tym celu Napier wybrał podstawę, która była bardzo bliska 1, różniąc się od niej tylko o 1/107. Otrzymana w ten sposób sekwencja geometryczna dała zatem gęsty zbiór wartości, odpowiedni do skonstruowania tablicy.
W swojej pracy z 1619 roku Napier przedstawił interesujący model kinematyczny do generowania sekwencji geometrycznych i arytmetycznych używanych w konstrukcji jego tablic. Załóżmy, że dwie cząstki poruszają się wzdłuż oddzielnych linii z danych punktów początkowych. Cząstki zaczynają się poruszać w tej samej chwili z tą samą prędkością. Pierwsza cząstka porusza się dalej z malejącą prędkością, proporcjonalną w każdej chwili do odległości pozostałej między nią a danym stałym punktem na prostej. Druga cząstka porusza się ze stałą prędkością równą jej prędkości początkowej. Przy dowolnym przyroście czasu, odległości przebyte przez pierwszą cząstkę w kolejnych przyrostach tworzą geometrycznie malejący ciąg. Odpowiadające im odległości przebyte przez drugą cząstkę tworzą ciąg arytmetycznie rosnący. Napier był w stanie wykorzystać ten model do wyprowadzenia twierdzeń dających precyzyjne granice przybliżonych wartości w tych dwóch ciągach.
Kinematyczny model Napiera wskazywał, jak bardzo uzdolnieni stali się matematycy na początku XVII wieku w analizowaniu ruchu niejednostajnego. Idee kinematyczne, które często pojawiały się w matematyce tego okresu, dostarczały jasnych i możliwych do zwizualizowania środków do generowania wielkości geometrycznych. Koncepcja krzywej wyznaczonej przez cząstkę poruszającą się w przestrzeni odegrała później znaczącą rolę w rozwoju rachunku matematycznego.
Pomysły Napiera zostały podjęte i zweryfikowane przez angielskiego matematyka Henry’ego Briggsa, pierwszego profesora geometrii Saviliana w Oksfordzie. W 1624 roku Briggs opublikował obszerną tabelę logarytmów wspólnych, czyli logarytmów do podstawy 10. Ponieważ podstawa nie była już bliska 1, tablicy nie można było otrzymać w tak prosty sposób jak w przypadku Napiera, dlatego Briggs opracował techniki wykorzystujące rachunek różnic skończonych, aby ułatwić obliczanie pozycji. Opracował także procedury interpolacji o dużej wydajności obliczeniowej, aby uzyskać wartości pośrednie.
W Szwajcarii twórca instrumentów Joost Bürgi wpadł na pomysł logarytmów niezależnie od Napiera, choć opublikował swoje wyniki dopiero w 1620 roku. Cztery lata później w Marburgu pojawiła się tabela logarytmów przygotowana przez Keplera. Zarówno Bürgi, jak i Kepler byli obserwatorami astronomicznymi, a Kepler włączył tablice logarytmiczne do swoich słynnych Tabulae Rudolphinae (1627; „Tablice Rudolphine”), astronomicznych tabel ruchu planet, wyprowadzonych przy założeniu eliptycznych orbit wokół Słońca.
.