Związek między wielkościami liniowymi i obrotowymi
Opis ruchu może być czasem łatwiejszy dzięki wielkościom kątowym, takim jak prędkość kątowa, bezwładność obrotowa, moment obrotowy, itp.
Learning Objectives
Derive uniform circular motion from linear equations
Key Takeaways
Key Points
- Jak używamy masy, pędu liniowego, translacyjnej energii kinetycznej i drugiego prawa Newtona do opisu ruchu liniowego, możemy opisać ogólny ruch obrotowy używając odpowiednich wielkości skalarnych/wektorowych/tensorowych.
- Prędkość kątowa i prędkość liniowa mają następującą zależność: \bf{text{v} = \omega \times \text{r}}.
- Jak używamy równania ruchu \text{F} = \text{ma} do opisu ruchu liniowego, możemy użyć jego odpowiednika \bf{tau} = \frac{text{d} \bf{text{L}}}{\text{dt}} = \bf{text{r}} \times \text{F}}, aby opisać ruch kątowy. Opisy te są równoważne, a wyboru można dokonać wyłącznie ze względu na wygodę użytkowania.
Kluczowe pojęcia
- ruch jednostajny po okręgu: Ruch po ścieżce kołowej ze stałą prędkością.
- moment obrotowy: Obrotowy lub skręcający efekt siły; (jednostka SI newton-metr lub Nm; jednostka imperialna foot-funt lub ft-lb)
- bezwładność obrotowa: Tendencja obracającego się obiektu do pozostawania w ruchu obrotowym, chyba że przyłożony zostanie do niego moment obrotowy.
Definiowanie ruchu po okręgu
Opis ruchu po okręgu jest lepiej opisany w kategoriach wielkości kątowej niż jego liniowa odpowiedniczka. Powody są łatwe do zrozumienia. Na przykład, rozważmy przypadek ruchu jednostajnego po okręgu. Tutaj prędkość cząstki zmienia się – choć ruch jest „jednostajny”. Te dwa pojęcia nie idą ze sobą w parze. Ogólna konotacja terminu „jednostajny” oznacza „stały”, ale w rzeczywistości prędkość zmienia się cały czas.
Ciało obrotowe: Każda cząstka tworząca to ciało wykonuje jednostajny ruch okrężny wokół stałej osi. Do opisu tego ruchu lepszym wyborem są wielkości kątowe.
Gdy opisujemy ruch jednostajny po okręgu za pomocą prędkości kątowej, nie ma sprzeczności. Prędkość (tj. prędkość kątowa) jest rzeczywiście stała. Jest to pierwsza zaleta opisu ruchu jednostajnego po okręgu w kategoriach prędkości kątowej.
Druga zaleta jest taka, że prędkość kątowa oddaje fizyczny sens obrotu cząstki w przeciwieństwie do prędkości liniowej, która wskazuje na ruch translacyjny. Alternatywnie, opis kątowy podkreśla rozróżnienie między dwoma rodzajami ruchu (translacyjnym i rotacyjnym).
Relationship Between Linear and Angular Speed
Dla uproszczenia, rozważmy jednostajny ruch kołowy. Dla długości łuku odejmującego kąt ” w punkcie początkowym i „r” jest promieniem okręgu zawierającego położenie cząstki, mamy \text{s}= \text{r} \theta .
Różniczkując względem czasu, mamy
\frac{text{ds}}{\text{dt}} = \frac{text{dr}}{\text{dt}} \theta + \text{r} \frac{text{d}}{\text{dt}}.
Ponieważ \frac{text{dr}}{\text{dt}} = 0 dla ruchu jednostajnego po okręgu, otrzymujemy \text{v} = \omega \text{r}. Podobnie, otrzymujemy również \text{a} = \alpha \text{r}, gdzie \text{a} oznacza przyspieszenie liniowe, podczas gdy \alpha odnosi się do przyspieszenia kątowego (W bardziej ogólnym przypadku, związek pomiędzy wielkościami kątowymi i liniowymi jest dany jako \bf{text{v} = \omega \times \text{r}}, ~~ \bf{text{a} = \alpha \times \text{r} + \omega \times \text{v}}. )
Rotacyjne równania kinematyczne
Mając związek prędkości liniowej i kątowej/przyspieszenia, możemy wyprowadzić następujące cztery rotacyjne równania kinematyczne dla stałych \text{a} i \alpha:
\omega = \omega 0+ \alpha \text{t}: \tekst{v}= \tekst{v}0+ \tekst{at}
theta = \omega 0 \t}+(1/2)\alpha \t}2: \tekst{x}= \tekst{v}0 \t}+(1/2)\tekst{at}2
\tekst{v}2= \omega 02+2:
Masa, pęd, energia i drugie prawo Newtona
Jak używamy masy, pędu liniowego, translacyjnej energii kinetycznej i drugiego prawa Newtona do opisu ruchu liniowego, możemy opisać ogólny ruch obrotowy używając odpowiednich wielkości skalarnych/wektorowych/tensorowych:
- Masa/ bezwładność obrotowa:
- Liniowy/ kątowy moment pędu:
- Siła/ moment obrotowy:
- Energia kinetyczna:
Na przykład, tak jak używamy równania ruchu \tekst{F} = \tekst{ma} do opisu ruchu liniowego, możemy użyć jego odpowiednika \bf{tau} = \frac{tekst{d} \tekst{L}}}{\t}} = \bf{tekst{r}} \times \text{F}} do opisu ruchu kątowego. Opisy te są równoważne, a wyboru można dokonać wyłącznie ze względu na wygodę użytkowania.