7.6: Objętość, orientacja i tensor Levi-Civita

Orientacja

Jak widać na rysunku \(\), liniowość obszaru wymaga, aby niektórym obszarom przypisać wartości ujemne. Jeśli porównamy obszary \(+1\) i \(-1\), zobaczymy, że jedyną różnicą jest orientacja, czy też ręczność. W przypadku, w którym arbitralnie przypisaliśmy obszar \(+1\), wektor b leży przeciwnie do ruchu wskazówek zegara w stosunku do wektora a, ale gdy a jest flipped, względna orientacja staje się zgodna z ruchem wskazówek zegara.

Jeśli masz zwykłe podstawy fizyki, to widziałeś, że ten problem został rozwiązany w szczególny sposób, który polega na tym, że zakładamy istnienie trzeciego wymiaru i definiujemy obszar jako iloczyn wektorowo-krzyżowy \(a×b\), który jest prostopadły do płaszczyzny zamieszkiwanej przez \(a\) i \(b\). Problem z tym podejściem polega na tym, że działa ono tylko w trzech wymiarach. W czterech wymiarach, załóżmy, że a leży wzdłuż osi x, a b wzdłuż osi t. Jeśli mielibyśmy zdefiniować \(a×b\), to powinna ona leżeć w kierunku prostopadłym do obu tych osi, ale mamy więcej niż jeden taki kierunek. Moglibyśmy wybrać cokolwiek w płaszczyźnie \(y-z\).

Aby zacząć od tego zagadnienia w m wymiarach, gdzie \(m\) niekoniecznie jest równe \(3\), możemy rozważyć \(m\) objętość \(m\) wymiarowego równoległościanu rozpiętego przez \(m\) wektory. Na przykład, załóżmy, że w czasoprzestrzeni 4-wymiarowej wybieramy nasze wektory jako wektory jednostkowe leżące wzdłuż czterech osi współrzędnych Minkowskiego, \(\hat{t},\hat{x},\hat{y}; \text{i}; \hat{z}). Z doświadczenia z iloczynem wektorowym, który jest antykomutatywny, oczekujemy, że znak wyniku będzie zależał od kolejności wektorów, więc przyjmijmy je w tej kolejności. Wyraźnie widać, że istnieją tylko dwie rozsądne wartości, które możemy sobie wyobrazić dla tej objętości: ∗ ∗ lub ∗ ∗. Wybór jest arbitralny, więc dokonujemy arbitralnego wyboru. Powiedzmy, że jest to \(+1\) dla tego rzędu. Jest to równoznaczne z wyborem orientacji czasoprzestrzeni.

Ukrytym i nietrywialnym założeniem było to, że gdy dokonamy tego wyboru w jednym punkcie czasoprzestrzeni, może on być przeniesiony do innych regionów czasoprzestrzeni w spójny sposób. Nie musi tak być, co sugeruje rysunek

Jednakże naszym tematem w tej chwili jest szczególna względność, a jak omówiono briefly w sekcji 2.4, w szczególnej względności zwykle zakłada się, że czasoprzestrzeń jest topologicznie trywialna, tak że ta kwestia pojawia się tylko w ogólnej względności, i tylko w czasoprzestrzeniach, które prawdopodobnie nie są realistycznymi modelami naszego Wszechświata.

Ponieważ objętość jest niezmiennicza pod względem obrotów i transformacji Lorentza, nasz wybór orientacji wystarcza do ustalenia definicji objętości, która jest niezmiennikiem Lorentza. Jeśli wektory \(a\), \(b\), \(c\) i \(d\) rozciągają się na \(4\) równoległoboku, to liniowość objętości wyraża się przez stwierdzenie, że istnieje zbiór współczynników \(\epsilon _{ijkl}\) takich, że

Zapisanie tego w ten sposób sugeruje, że interpretujemy to jako abstrakcyjną notację indeksową, w którym to przypadku brak jakichkolwiek indeksów na \(V) oznacza, że jest to nie tylko niezmiennik Lorentza, ale również skalar.

Wynik z przykładu mówi nam, że zgodnie z naszą konwencją, że objętość jest skalarem, składowe objętości muszą się zmieniać przy zmianie współrzędnych. Można by argumentować, że logiczniej byłoby myśleć o transformacji w tym przykładzie jako o zmianie jednostek, w którym to przypadku wartość ˆ(V) byłaby inna w nowych jednostkach; jest to możliwa alternatywna konwencja, ale jej wadą byłoby uniemożliwienie odczytania własności transformacyjnych obiektu z liczby i pozycji jego indeksów. Zgodnie z naszą konwencją, możemy odczytywać właściwości transformacji w ten sposób. Chociaż w rozdziale 7.4 przedstawiono te własności tylko w przypadku tensorów rangi 0 i 1, odkładając ogólny opis tensorów wyższej rangi do rozdziału 9.2, to własności transformacyjne tensora rangi 4 są, jak wynika z jego czterech indeksów, własnościami tensora rangi 4. Różni autorzy stosują różne konwencje dotyczące definicji tensora, który został pierwotnie opisany przez matematyka Levi-Civitę.

Ponieważ zgodnie z naszą konwencją ∗ jest tensorem, nazywamy go tensorem Leviego-Civity. Ponieważ notacja nie jest znormalizowana, od czasu do czasu będę umieszczał przypomnienie obok ważnych równań zawierających \(\epsilon\) stwierdzające, że jest to tensor \(\epsilon\).

Tensor Levi-Civita ma wiele i wiele indeksów. Przerażające! Wyobraź sobie złożoność tej bestii. (Sob.) Mamy cztery wybory dla pierwszego indeksu, cztery dla drugiego, i tak dalej, tak że całkowita liczba komponentów wynosi \(256\). Poczekaj, nie sięgaj po kleenex. Poniższy przykład pokazuje, że ta złożoność jest iluzoryczna.

Przykład pokazuje, że fantazyjny symbol \(\epsilon _{ijkl}\), który wygląda jak tajny hieroglif Majów przywołujący \(256\) różnych liczb, w rzeczywistości koduje tylko jedną liczbę informacji; każdy element tensora albo jest równy tej liczbie, albo minus tej liczbie, albo zero. Załóżmy, że pracujemy w jakimś układzie współrzędnych, który może nie być Minkowski, i chcemy znaleźć tę liczbę. Skomplikowanym sposobem na jej znalezienie byłoby skorzystanie z prawa transformacji tensora (rozdział 9.2). Znacznie prostszym sposobem jest skorzystanie z wyznacznika metryki, omówionego w Przykładzie 6.2.1. Dla listy współrzędnych ijkl, które są uporządkowane w kolejności, którą definiujemy jako orientację dodatnią, wynikiem jest po prostu \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{lewa | det; g \prawa |}). Znak wartości bezwzględnej jest potrzebny, ponieważ metryka relatywistyczna ma ujemny wyznacznik.

.