Numerieke berekening
De ontwikkeling van nieuwe methoden van numerieke berekening was een reactie op de toegenomen praktische eisen van numerieke berekening, met name in de goniometrie, navigatie en astronomie. Nieuwe ideeën verspreidden zich snel over Europa en resulteerden tegen 1630 in een grote revolutie in de numerieke praktijk.
Simon Stevin van Holland, in zijn korte pamflet La Disme (1585), introduceerde decimale breuken in Europa en liet zien hoe de principes van de Hindoe-Arabische rekenkunde konden worden uitgebreid naar het rekenen met deze getallen. Stevin benadrukte het nut van decimale rekenkunde “voor alle rekeningen die men tegenkomt in de zaken van de mensen”, en hij legde in een bijlage uit hoe het kon worden toegepast in landmeetkunde, stereometrie, astronomie, en mensurering. Zijn idee was om het basis-10 positieprincipe uit te breiden tot getallen met breukdelen, met een overeenkomstige uitbreiding van de notatie om deze gevallen te dekken. In zijn systeem werd het getal 237,578 aangeduid als
waarin de cijfers links van de nul het integraal deel van het getal zijn. Rechts van de nul staan de cijfers van het breukdeel, waarbij elk cijfer wordt gevolgd door een omcirkeld getal dat de negatieve macht aangeeft waartoe 10 is verheven. Stevin liet zien hoe de gebruikelijke rekenkunde van gehele getallen kon worden uitgebreid tot decimale breuken, met behulp van regels die de plaats van de negatieve machten van 10 bepaalden.
Naast het praktische nut, was La Disme belangrijk vanwege de manier waarop het de dominante stijl van de klassieke Griekse meetkunde in de theoretische wiskunde ondermijnde. Stevin’s voorstel vereiste een verwerping van het onderscheid in de Euclidische meetkunde tussen grootheid, die continu is, en getal, dat een veelheid van ondeelbare eenheden is. Voor Euclides was de eenheid, of één, een speciaal soort ding, niet het getal maar de oorsprong, of het principe, van het getal. De introductie van decimale breuken leek te impliceren dat de eenheid kon worden onderverdeeld en dat willekeurige continue grootheden numeriek konden worden voorgesteld; het veronderstelde impliciet het concept van een algemeen positief reëel getal.
Tabellen van logaritmen werden voor het eerst gepubliceerd in 1614 door de Schotse laird John Napier in zijn verhandeling Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Dit werk werd (postuum) vijf jaar later gevolgd door een ander waarin Napier de principes uiteenzette die hij gebruikte bij de constructie van zijn tabellen. Het basisidee achter logaritmen is dat optellen en aftrekken gemakkelijker uit te voeren zijn dan vermenigvuldigen en delen, die, zoals Napier opmerkte, een “vervelende tijdsbesteding” vergen en onderhevig zijn aan “gladde fouten”. Volgens de exponentenwet is anam = an + m; dat wil zeggen dat bij de vermenigvuldiging van getallen de exponenten additief met elkaar verbonden zijn. Door de meetkundige reeks getallen a, a2, a3,… (a wordt de basis genoemd) te correleren met de rekenkundige reeks 1, 2, 3,… en te interpoleren naar breukwaarden, is het mogelijk het probleem van vermenigvuldigen en delen te reduceren tot een probleem van optellen en aftrekken. Daartoe koos Napier een grondtal dat zeer dicht bij 1 lag en er slechts 1/107 van verschilde. De resulterende meetkundige reeks leverde dus een dichte reeks waarden op, geschikt voor het construeren van een tabel.
In zijn werk van 1619 presenteerde Napier een interessant kinematisch model om de meetkundige en rekenkundige reeksen te genereren die hij gebruikte bij het construeren van zijn tabellen. Veronderstel dat twee deeltjes langs afzonderlijke lijnen bewegen vanuit gegeven beginpunten. De deeltjes beginnen op hetzelfde moment te bewegen met dezelfde snelheid. Het eerste deeltje blijft bewegen met een snelheid die afneemt, evenredig op elk moment met de afstand die overblijft tussen het deeltje en een gegeven vast punt op de lijn. Het tweede deeltje beweegt met een constante snelheid die gelijk is aan zijn beginsnelheid. Bij een willekeurig tijdsinterval vormen de afstanden die het eerste deeltje in opeenvolgende tijdsintervallen aflegt, een meetkundig dalende reeks. De overeenkomstige afstanden van het tweede deeltje vormen een rekenkundig toenemende reeks. Napier was in staat dit model te gebruiken om stellingen af te leiden die precieze grenzen gaven aan benaderende waarden in de twee reeksen.
Napier’s kinematisch model gaf aan hoe bedreven wiskundigen tegen het begin van de 17e eeuw waren geworden in het analyseren van niet-uniforme beweging. Kinematische ideeën, die veelvuldig in de wiskunde van die periode voorkwamen, boden een duidelijk en visualiseerbaar middel voor het genereren van geometrische grootheden. De opvatting van een kromme die wordt afgelegd door een deeltje dat zich door de ruimte beweegt, speelde later een belangrijke rol in de ontwikkeling van de calculus.
De ideeën van Napier werden overgenomen en herzien door de Engelse wiskundige Henry Briggs, de eerste Saviliaanse hoogleraar in de meetkunde in Oxford. In 1624 publiceerde Briggs een uitgebreide tabel van gewone logaritmen, of logaritmen tot de basis 10. Omdat de basis niet meer in de buurt van 1 lag, kon de tabel niet zo eenvoudig worden verkregen als die van Napier, en Briggs bedacht daarom technieken waarbij de calculus van eindige verschillen werd gebruikt om de berekening van de waarden te vergemakkelijken. Hij bedacht ook interpolatieprocedures met een grote rekenefficiëntie om tussenliggende waarden te verkrijgen.
In Zwitserland kwam de instrumentmaker Joost Bürgi onafhankelijk van Napier op het idee voor logaritmen, hoewel hij zijn resultaten pas in 1620 publiceerde. Vier jaar later verscheen in Marburg een door Kepler opgestelde tabel van logaritmen. Zowel Bürgi als Kepler waren astronomische waarnemers, en Kepler nam logaritmische tabellen op in zijn beroemde Tabulae Rudolphinae (1627; “Rudolphine Tafels”), astronomische tabellen van de beweging van planeten afgeleid door gebruik te maken van de aanname van elliptische banen om de Zon.