Luigi uit Brooklyn schrijft: “Mijn broer vertelde me dat 111.111.111 vermenigvuldigd met zichzelf 12.345.678.987.654.321 is. Is dat waar of is dat gewoon weer een leugen?”
Wel, Luigi, het klinkt mij alsof jij en je broer wat vertrouwensproblemen hebben! Liegt hij vaak tegen je over wiskundeproblemen?
Ik kan me voorstellen dat je misschien geprobeerd hebt de vermenigvuldiging op een rekenmachine uit te voeren, en dat de rekenmachine niet genoeg plaatswaarden had om het resultaat weer te geven. Waarschijnlijk kreeg je iets lelijks in wetenschappelijke notatie. Er zijn rekenmachines die wel genoeg cijfers weergeven om je het antwoord te geven. De rekenmachine op mijn computer geeft bijvoorbeeld het volledige antwoord weer:
Hopelijk is het geschil hiermee naar uw tevredenheid beslecht. U heeft hier natuurlijk geen rekenmachine voor nodig; u kunt het heel gemakkelijk met de hand vermenigvuldigen:
111111111 x 111111111 --------- 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111 111111111111111111-----------------12345678987654321
Met andere woorden, de titel van deze blogpost is “Palindromische Vermenigvuldiging,” en daar is een reden voor. Een palindroom is een getal (of woord) dat zowel vooruit als achteruit hetzelfde is. Bijvoorbeeld, “raceauto” is een palindroom omdat, als je het achterstevoren spelt, je nog steeds “raceauto” hebt. Dit is een voorbeeld waar we een palindroom kwadrateren, en het resultaat is een ander palindroom.
Dit gebeurt niet altijd; het gebeurt in dit geval omdat de vermenigvuldiging niet resulteert in overdracht (je kunt zien in mijn vermenigvuldiging hierboven dat het maximum dat we ooit hebben opgeteld in een kolom 9 enen is; als we meer dan 9 enen hadden, zouden we moeten overdrachten, wat het palindromische karakter van het resultaat zou kunnen verknoeien. Dus als we de cijfers klein houden (vooral enen, nullen, en misschien wat tweeën), kunnen we misschien andere palindromische resultaten vinden.
Vermenigvuldig bijvoorbeeld 121 met zichzelf:
121x 121 --- 121 242121-----14641
Maar kijk wat er gebeurt als we 131 proberen:
131x 131 --- 131 393131-----17161
Dit is geen palindroom. Ziet u waarom? In de derde optellingskolom hebben we 1 + 9 + 1, wat resulteert in een overdracht, en dat verstoort de symmetrie van het resultaat.
Ik weet dat dit veel meer is dan waar u in uw vraag om vroeg, maar ik vind palindromen erg interessant, dus ik kon het niet laten u er iets over te vertellen.
En tenslotte laat ik u achter met de woorden van Napoleon, nadat hij naar het eiland Elba was verbannen: “Ik was al vaardig toen ik Elba zag. Spel dat nu achterstevoren, en kijk wat je krijgt. 🙂