Doorgaand op het thema van 15-75-90 driehoeken (Zie: Vorige keer en Eerste keer) zijn er recentelijk verschillende interessante riffs op 15-75-90’s in een doos opgedoken.
Voorbeeld het verdelen van een vierkant met vier 15-75-90 driehoeken:
Zoals vaak het geval is, is het vinden van de relatieve oppervlakte van de driehoeken en het vierkant rechttoe rechtaan met behulp van goniometrie:
Laat s de lengte zijn van de zijden van het vierkant:
De oppervlakte van elke driehoek = s^2 cos(15)sin(15) en met behulp van de dubbele hoek formules
(sin(30)=2sin(15)cos(15)²) dus na substitutie en wetende dat sin(30) = \(\frac{1}{2}) komt er uit de oppervlakte = \(\frac{1}{8}s^2)
Maar waarom gebeurt dit? Zoals gewoonlijk ligt er meestal een 30-60-90 driehoek op de loer die een Euclidische verklaring mogelijk maakt.
Wat hier bijzonder interessant aan is, is dat het erop wijst dat er dissecties bestaan om een 1/4 of 1/8 van het grotere vierkant om te zetten in de driehoeken en zeker genoeg schuif je de 1/4 driehoek ABO tot het 2 15-75-90′ wordt! 
Maar laten we terugkeren naar het oorspronkelijke probleem. Er is een andere eenvoudige verklaring voor wat er gebeurt, die alleen gebruik maakt van de verhoudingen van de driehoek:
1. Merk op dat de oppervlakte van deze driehoek 8 keer zo groot is als de oppervlakte van de driehoek.
2. Als je de schuine zijde kwadrateert krijg je 4(2 – 3), dat is 8 keer de oppervlakte van de driehoek.
3. Of met andere woorden elke driehoek is 1/8 van het vierkant van de schuine zijde.
En we hebben ons oorspronkelijke resultaat weer gevonden.
Volgende vragen: Zijn er andere veel voorkomende driehoeken die het vierkant in een eenheid of “eenvoudige” breuk verdelen.
Ik laat het aan de lezer over om te bepalen welk probleem op basis van deze eigenschap leuker is (van @eylem en @sansu-seijin):
Gegeven het vierkant met lengte 6cm, hoe groot is het gearceerde gebied?