Relatie tussen Lineaire en Rotatiegrootheden
De beschrijving van beweging kan soms eenvoudiger met hoekgrootheden zoals hoeksnelheid, rotatietraagheid, koppel, enz.
Leerdoelen
Eenparige cirkelvormige beweging afleiden uit lineaire vergelijkingen
Key Takeaways
Key Points
- Zoals we massa gebruiken, lineair momentum, translationele kinetische energie, en de 2e wet van Newton gebruiken om lineaire beweging te beschrijven, kunnen we een algemene roterende beweging beschrijven met behulp van overeenkomstige scalaire/vector/tensor grootheden.
- Angulaire en lineaire snelheid hebben het volgende verband: \bf{text{v} = \omega \tmaal \text{r}}.
- Zoals we de bewegingsvergelijking \text{F} = \text{ma} gebruiken om een lineaire beweging te beschrijven, kunnen we de tegenhanger ervan gebruiken \bf{tau} = \frac{text{d}\bf{text{L}}}{text{dt}} = \bf{text{r}}} \maal \bf{text{F}}, om de hoekbeweging te beschrijven. De beschrijvingen zijn gelijkwaardig, en de keuze kan louter voor het gebruiksgemak worden gemaakt.
Key Terms
- eenparige cirkelbeweging: Beweging rond een cirkelvormig pad met constante snelheid.
- Koppel: Een roterend of verdraaiend effect van een kracht; (SI-eenheid newton-meter of Nm; imperiale eenheid foot-pound of ft-lb)
- roterende traagheid: De neiging van een roterend voorwerp om roterend te blijven tenzij er een koppel op wordt uitgeoefend.
Definiëren van cirkelvormige beweging
De beschrijving van cirkelvormige beweging wordt beter beschreven in termen van hoekgrootheid dan zijn lineaire tegenhanger. De redenen daarvoor zijn gemakkelijk te begrijpen. Neem bijvoorbeeld het geval van eenparige cirkelvormige beweging. Hier verandert de snelheid van het deeltje – hoewel de beweging “eenparig” is. De twee begrippen gaan niet samen. De algemene connotatie van de term “eenvormig” duidt op “constant”, maar de snelheid verandert in feite voortdurend.
Een roterend lichaam: elk deeltje waaruit het lichaam bestaat, voert een eenvormige cirkelbeweging uit om de vaste as. Voor de beschrijving van de beweging zijn hoekgrootheden de betere keuze.
Wanneer we de eenparige cirkelvormige beweging beschrijven in termen van hoeksnelheid, is er geen tegenspraak. De snelheid (d.w.z. de hoeksnelheid) is inderdaad constant. Dit is het eerste voordeel van het beschrijven van uniforme cirkelvormige beweging in termen van hoeksnelheid.
Tweede voordeel is dat hoeksnelheid de fysische betekenis van de rotatie van het deeltje overbrengt in tegenstelling tot lineaire snelheid, die translationele beweging aangeeft. Anderzijds benadrukt de hoekige beschrijving het onderscheid tussen twee soorten beweging (translationele en rotationele).
Relatie tussen lineaire en hoeksnelheid
Laten we voor het gemak een uniforme cirkelvormige beweging beschouwen. Voor de lengte van de boog met hoek ” bij de oorsprong en “r” de straal van de cirkel die de positie van het deeltje bevat, geldt \text{s}=\text{r}\theta .
Differentiëren naar tijd, dan geldt
\frac{\text{ds}}{\text{dt}} = \frac{\text{dr}{text\{dt}} \theta + \text{r}\frac{text{d}}\theta}{text{dt}}.
Omdat \frac{text{dr}}{text{dt}} = 0 voor een eenparige cirkelvormige beweging, krijgen we \text{v} = \omega \text{r}. Op dezelfde manier krijgen we ook \text{a} = \alpha \text{r} waarbij \text{a} staat voor lineaire versnelling, terwijl \alpha verwijst naar hoekversnelling (In een algemener geval wordt het verband tussen hoek- en lineaire grootheden gegeven als \bf{\text{v} = \omega \tijden \text{r}}, ~~ \bf{\text{a} = \alpha \tijden \text{r}} + \omega \tijden \text{r}}}).
Rotatie kinematische vergelijkingen
Met het verband van de lineaire en de hoeksnelheid/versnelling kunnen we de volgende vier rotatie kinematische vergelijkingen afleiden voor constante \text{a} en \alpha:
omega =\omega 0+\alpha \text{t}: \text{v}=\text{v}0+(1/2)\text{at}2
theta =omega 0\text{t}+(1/2)\alpha \text{t}2: \text{x}=\text{v}0\text{t}+(1/2)\text{at}2
\omega 2=omega 02+2:
Massa, momentum, energie en de tweede wet van Newton
Zoals we massa, lineair momentum, translationele kinetische energie en de tweede wet van Newton gebruiken om een lineaire beweging te beschrijven, kunnen we een algemene draaiende beweging beschrijven met overeenkomstige scalaire/vector/tensor grootheden:
- Massa/ Rotatietraagheid:
- Linenar/hoekmomentum:
- Kracht/ Koppel:
- Kinetische energie:
Zoals we bijvoorbeeld de bewegingsvergelijking \text{F} = \text{ma} gebruiken om een lineaire beweging te beschrijven, kunnen we de tegenhanger \bf{\tau} = \frac{\text{d}\bf{\text{L}}}{{7045}} = \bf{\text{r}} \keer \bf{text{F}} om een hoekbeweging te beschrijven. De beschrijvingen zijn gelijkwaardig, en de keuze kan louter voor het gebruiksgemak worden gemaakt.