Deel 1: Wat is Pairs Trading?
Deel 2: Een overzicht van Pairs Trading
Deel 3: Conclusie
1- Wat is Pairs Trading
Als inleiding op ons huidige onderwerp, raad ik u ten zeerste aan een ander artikel te lezen dat ik over het concept arbitrage heb geschreven.
Met dat gezegd, kan ik formeel de definitie van arbitrage als volgt introduceren:
Een arbitrage(portefeuille) is er een waar je niets betaalt om erin te stappen, en je maakt een zekere risicoloze positieve winst.
Er zijn een paar gevallen in de markt waar arbitragekansen zich voordoen. De situatie die we zullen bekijken, is die tussen aandelen. In wezen betekent dit dat we gebruik zullen maken van een statistische eigenschap tussen twee verschillende aandelen op dezelfde beurs.
Nu,
1.1 Wat is parenhandel?
Parenhandel is een strategie die uit twee componenten bestaat: A) Het identificeren van een paar aandelen die gelijk bewegen en mean-reverting eigenschappen bezitten & B) Het verkopen van het hoog geprijsde aandeel en het kopen van het laag geprijsde aandeel.
De truc is natuurlijk het kunnen identificeren van het paar (A) en vervolgens het vinden van een geschikte vooraf gedefinieerde instap- en uitstapstrategie (B).
Het wordt gekarakteriseerd als een marktneutrale strategie die behoort tot de familie van statistische arbitragemethoden. Met marktneutraal wordt bedoeld dat deze strategie niet wordt beïnvloed door prijsontwikkelingen (opwaarts of neerwaarts) – dit is een gevolg van de afdekking van elk bestanddeel van het paar.
Er zijn drie primaire benaderingen van parenhandel:
- Distance-benadering
- Stochastische benadering
- Cointegratie-benadering
De benadering waarop we ons zullen concentreren is de cointegratie-benadering.
1.2 Hoe vaak doet deze situatie/arbitragekans zich voor?
Niet erg vaak. Om beter te begrijpen waarom ze niet vaak voorkomen, moeten we eerst begrijpen waarom ze zich überhaupt voordoen. Om te beginnen doen arbitragemogelijkheden zich voor als gevolg van een inefficiëntie van de markt – een niet-evenwichtsverschijnsel.
De oorzaak van deze inefficiëntie kan van alles zijn, van een reeks fouten zoals een vertraging in het doorgeven van informatie. In het begin van deze Moderne Techno-Industriële (MTI) vorm van beschaving, zijn vertragingen zeer minimaal, vandaar dat de zeldzame gelegenheidsgevallen slechts van voorbijgaande aard zijn en minimaal en voor korte perioden bestaan.
2- Een overzicht van Pairs Trading
In dit deel zullen we een praktische kennis opbouwen van: tijdreeksen, stationariteit, cointegratie, regressie en residuen, en unit root tests.
Daarna zullen we deze kennis toepassen bij: portefeuilleconstructie, het vormen van een conservatieve handelsstrategie, en vervolgens backtesting.
2.1 Tijdreeksen
Een tijdreeks is een verzameling datapunten die chronologisch zijn gerangschikt in overeenstemming met het tijdstip waarop ze zich voordoen. Tijd kan worden gemeten in seconden, minuten, uren, dagen, maanden of jaren.
Let ons veronderstellen dat er een willekeurige tijdreeks Y is:
Y={Yt:t∈T} ; waarbij T de verzameling natuurlijke getallen is
essentieel,
t: t₁, t₂, …, tn
Yt: Yt₁, Yt₂, …, Ytn
Een voorbeeld van een tijdreeks is de koers van een aandeel over de tijd in dagen of de bevolking over de tijd in jaren.
Enkele belangrijke kenmerken van tijdreeksen
- Tendens: is het opwaarts of neerwaarts?
- Seizoensgebondenheid: zijn er regelmatig terugkerende patronen?
- Willekeurige bewegingen: is er een schijnbaar onregelmatig karakter?
- Stationariteit: veranderen de statistische eigenschappen niet in de loop van de tijd?
Het karakteriseren van tijdreeksen geeft ons de vrijheid om modellen te maken of te gebruiken die ons belangrijke informatie zouden kunnen opleveren. Voor de parenhandel zullen we een van de kenmerken onderzoeken, namelijk stationariteit.
2.2 Stationariteit
In eenvoudige bewoordingen is er sprake van stationariteit wanneer het gemiddelde en de variantie van een tijdreeks constant zijn en de covariantie onafhankelijk is van de tijd. Visueel ziet een stationaire tijdreeks er vlak uit, zonder pathologische trend en zonder seizoensinvloeden. Zij is ook gemiddeld-terugkerend.
Als een tijdreeks stationair is, dan heeft zij een integratie van orde nul I(0).
We kunnen niet afleiden of een tijdreeks stationair is op basis van de visualisatie. We zouden gebruik moeten maken van een raamwerk van statistische methoden om af te leiden of ze inderdaad stationair is.
Er zijn drie voorwaarden waaraan moet worden voldaan opdat een willekeurige tijdreeks Yt als stationair wordt gedefinieerd:
- E is constant voor alle t (dit impliceert mean-reversion)
- Var is constant voor alle t
- Covar is constant voor alle t
Als een aandelenpaar met een hoge mate van zekerheid stationair kan worden geïdentificeerd, dan kunnen we dat paar met succes gebruiken in onze pairs trading-strategie.
Wat is een autoregressief (AR) model?
Het is een weergave van een type willekeurig proces. In ons geval zal het een random walk zijn, die een benadering is van de discretiserende Brownse beweging (die wordt gebruikt om aandelenkoersen te modelleren). Het specificeert dat de output variabele lineair afhangt van zijn eigen vorige waarden en een willekeurige variabele – het is dus in de vorm van een stochastische verschilvergelijking.
Deze wordt als volgt weergegeven,
Yt=ρYt-₁+Ɛt ; waarbij Ɛt een onafhankelijke normaal verdeelde willekeurige variabele is.
Het is noodzakelijk op te merken dat, aangezien de bovenstaande vergelijking een AR-model van orde één is, we daarom een lag (L) van één zullen beschouwen.
Er zijn twee belangrijke voorbeelden van stationaire tijdreeksen en hun respectieve eigenschappen:
- Hangt niet af van de tijd
- Witte ruis
2.3 Coïntegratie
Let op,
Als een tijdreeks stationair is, dan heeft zij een integratie van orde nul I(0).
Welnu, daar gaan we op voortbouwen.
Stel dat we een paar aandelen hebben dat we al dan niet als een paar willen identificeren (met het oog op de parenhandel).
Laat de tijdreeks Xt voorraad A zijn en Yt voorraad B. Beide tijdreeksen zijn AR-modellen;
Xt=ρXt-₁+Ɛt en Yt=ρYt-₁+Ɛt ; neem aan dat Ɛt voor beide reeksen gelijk is.
Als we deze reeksen dan in een bepaalde verhouding zouden combineren, zouden we een nieuwe reeks μt krijgen die alleen bestaat uit de niet-willekeurige componenten van de AR-modellen.
Nu veronderstellen wij in een meer algemeen geval dat deze twee tijdreeksen beide geïntegreerd zijn van orde één (I(1)) en dus van meet af aan niet-stationair zijn. Laten we ook veronderstellen dat het AR-modellen zijn (van orde 1) waarbij de willekeurige component wordt geannuleerd (wegens het delen van gemeenschappelijke stochastische trends (Ɛt)) – er is dan een mogelijkheid dat een lineaire combinatie van de reeksen een stationaire I(0)-reeks zou opleveren. Dit is wat cointegratie is.
Wat is het verschil tussen cointegratie en correlatie?
Terwijl zowel cointegratie als correlatie activaprijzen kunnen meten die samen bewegen en dus een relatie tot stand kunnen brengen, gaat correlatie op de lange termijn kapot, maar is enigszins robuust bij het vaststellen van kortetermijnrelaties. Coïntegratie is daarentegen veel beter geschikt voor een handelsstrategie op middellange tot lange termijn. Ook worden correlaties meestal gebruikt om de co-movement van rendement te specificeren, terwijl cointegratie die van prijs specificeert.
Houd dit in gedachten?
… we zullen een statistische eigenschap tussen twee verschillende aandelen op dezelfde beurs exploiteren.
Die statistische eigenschap waarnaar we verwezen, was stationariteit door de cointegratiebenadering.
Cointegratiebenadering voor het vinden van paren
Het belangrijkste idee is dat we twee tijdreeksen hebben die niet stationair zijn, maar stationair worden door te differenceren (I(1)). Deze tijdreeksen worden geïntegreerd (van orde één) genoemd. Er zijn geïntegreerde (van orde één) tijdreeksen zodanig dat er een lineaire combinatie van bestaat die stationair wordt (I(0)) (zoals te zien is in figuur 2.3.1).
We kunnen dit proces in drie grote stappen verdelen:
- regressieanalyse gebruiken om de natuurlijke logaritmen van de koersen van beide aandelen tegen elkaar weg te drukken – de cointegratiecoëfficiënt vinden
- de residuen uit de regressie berekenen
- statistisch testen of de residuen stationair zijn met behulp van de Dickey-Fuller-test (DF)
In de onderstaande grafieken hebben we de historische koers van Citigroup Inc. van 20/07/18 tot 20/07/19 (dagelijkse frequentie). Met behulp van Matlab hebben we de volgende grafieken gegenereerd: