Een chromatische toonladder in de westerse muziek verdeelt een octaaf in 12 delen. Er zijn enigszins verschillende manieren om het octaaf in 12 delen te verdelen, en de verschillende benaderingen hebben een lange en subtiele geschiedenis. In dit artikel zal worden ingegaan op de kern van de verschillen.
Een octaaf is een verhouding van 2 tot 1. Stel dat een snaar met een bepaalde spanning en lengte een A produceert als hij wordt aangeslagen. Als je de snaar twee keer zo strak maakt, of dezelfde spanning behoudt en de snaar doormidden snijdt, zal de snaar de A een octaaf hoger laten klinken. De nieuwe klank zal de lucht tweemaal zo vaak per seconde in trilling brengen.
Een kwint is een verhouding van 3 tot 2 op dezelfde manier als een octaaf een verhouding is van 2 tot 1. Dus als we beginnen met een A 440 (een toonhoogte die trilt met 440 Hz, 440 trillingen per seconde) dan trilt de E een kwint boven de A met 660 Hz.
We kunnen met kwinten omhoog en met octaven omlaag gaan om elke noot in de chromatische toonladder te produceren. Bijvoorbeeld, als we nog een kwint omhoog gaan vanaf de E 660 krijgen we een B 990. Als we dan een octaaf omlaag gaan naar B 495 hebben we de B één stap boven de A 440. Dit zegt dat een “seconde”, zoals het interval van A naar B, een verhouding van 9 tot 8 is. Vervolgens zouden we de F# kunnen produceren door een kwint omhoog te gaan vanuit B, enz. Deze progressie van noten wordt de kwintencirkel genoemd.
Nu volgen we een andere aanpak. Elke keer als we een halve stap omhoog gaan in de chromatische toonladder, verhogen we de toonhoogte met een verhouding r. Als we dit 12 keer doen gaan we een octaaf omhoog, dus r12 moet 2 zijn. Dit zegt dat r de 12e wortel is van 2. Als we beginnen met een A 440, moet de toonhoogte n halve stappen hoger 2n/12 maal 440 zijn.
Nu hebben we twee manieren om een kwint omhoog te gaan. De eerste benadering zegt dat een kwint een verhouding is van 3 tot 2. Omdat een kwint zeven halve stappen is, zegt de tweede benadering dat een kwint een verhouding is van 27/12 tot 1. Als deze gelijk zijn, dan hebben we bewezen dat 27/12 gelijk is aan 3/2. Helaas is dat niet precies waar, maar het is wel een goede benadering want 27/12 = 1,498. De verhouding 3/2 wordt een “reine” kwint genoemd om hem te onderscheiden van de verhouding 1.498. Het verschil tussen perfecte kwinten en gewone kwinten is klein, maar het wordt groter als je perfecte kwinten gebruikt om elke toonhoogte te construeren.
De benadering waarbij elke noot via perfecte kwinten en octaven wordt gemaakt, staat bekend als Pythagoreïsche stemming. De benadering waarbij de 12e wortel uit 2 wordt gebruikt, staat bekend als gelijkzwevende stemming. Aangezien 1.498 niet hetzelfde is als 1.5, leveren de twee benaderingen verschillende stemmingen op. Er zijn verschillende compromissen die aspecten van beide systemen proberen te behouden. Elke reeks compromissen levert een ander stemsysteem op. En in feite is het Pythagoreïsche stemsysteem een beetje ingewikkelder dan hierboven beschreven, omdat er ook een aantal compromissen bij betrokken zijn.
Gerelateerd bericht: Kwintencirkel en getaltheorie