Oriëntatie
Zoals te zien is in figuur #(PaginaIndex{5}), vereist lineariteit van oppervlakte dat aan sommige gebieden negatieve waarden worden toegekend. Als we de gebieden met +1 en -1 vergelijken, zien we dat het enige verschil er een is van oriëntatie, of handigheid. In het geval dat we willekeurig het gebied +1 hebben toegekend, ligt vector b tegen de wijzers van de klok in ten opzichte van vector a, maar wanneer a flipped is, wordt de relatieve oriëntatie met de wijzers van de klok mee.
Als je de gebruikelijke natuurkundige achtergrond hebt, dan heb je gezien hoe dit probleem op een bepaalde manier wordt aangepakt, namelijk door aan te nemen dat er een derde dimensie bestaat, en de oppervlakte te definiëren als het vector dwarsproduct a×b, dat loodrecht staat op het vlak bewoond door a en b. Het probleem met deze aanpak is dat hij alleen werkt in drie dimensies. In vier dimensies, stel dat a langs de x-as ligt, en b langs de t-as. Als we dan a×b zouden moeten definiëren, zou dat in een richting moeten zijn die loodrecht op deze twee staat, maar er zijn er meer dan één zo’n richting. We kunnen alles kiezen wat in het y-z-vlak ligt.
Om te beginnen met deze kwestie in m dimensies, waar m niet noodzakelijkerwijs gelijk is aan 3, kunnen we het m-volume beschouwen van het m-dimensionale parallellepipedum opgespannen door m-vectoren. Stel bijvoorbeeld dat we in een vierdimensionale ruimtetijd de eenheidsvectoren kiezen die langs de vier assen van de Minkowski-coördinaten liggen, dus langs de vier assen van de Minkowski-coördinaten, dus langs de vier assen van de Minkowski-coördinaten. Uit ervaring met het vectorkruisproduct, dat anticommutatief is, verwachten we dat het teken van het resultaat zal afhangen van de volgorde van de vectoren, dus laten we ze in die volgorde nemen. Het is duidelijk dat er slechts twee redelijke waarden voor dit volume denkbaar zijn: \of -1. De keuze is arbitrair, dus maken we een arbitraire keuze. Laten we zeggen dat het +1 is voor deze orde. Dit komt neer op het kiezen van een oriëntatie voor de ruimtetijd.
Een verborgen en niet triviale aanname was dat als we eenmaal op één punt in de ruimtetijd deze keuze gemaakt hadden, die op een consistente manier naar andere gebieden in de ruimtetijd overgebracht kon worden. Dit hoeft niet het geval te zijn, zoals wordt gesuggereerd in figuur
Hoewel ons onderwerp op dit moment speciale relativiteit is, en zoals brieflijk besproken in paragraaf 2.4, wordt in de speciale relativiteit gewoonlijk aangenomen dat ruimtetijd topologisch triviaal is, zodat dit probleem zich alleen in de algemene relativiteit voordoet, en alleen in ruimtetijden die waarschijnlijk geen realistische modellen van ons universum zijn.
Omdat volume invariant is onder rotaties en Lorentz transformaties, is de keuze van een oriëntatie voldoende om een definitie van volume vast te leggen die een Lorentz invariant is. Als de vectoren a, b, c en d een parallellepipedum omspannen, dan wordt de lineariteit van het volume uitgedrukt door te zeggen dat er een verzameling coëfficiënten \(\epsilon _{ijkl}\) is zodanig dat
Door het op deze manier te noteren kunnen we het interpreteren als abstracte indexnotatie, in welk geval het ontbreken van enige indices op V betekent dat het niet alleen een Lorentz invariant is, maar ook een scalair.
Voorbeeld \(t,x,y,z)\): HaLFLing coördinaten
Laat \((t,x,y,z)\) Minkowski-coördinaten zijn, en laat \((t’,x’,y’,z’) = (2t,2x,2y,2z)\). Laten we eens kijken hoe elk van de factoren in onze volumevergelijking wordt beïnvloed als we deze verandering van coördinaten doen.
Omdat onze conventie is dat \(V\) een scalair is, verandert het niet onder een verandering van coördinaten. Dit dwingt ons te zeggen dat de componenten van in dit voorbeeld met een factor 1/16 veranderen.
Het resultaat van Voorbeeld Voorbeeld (PaginaIndex{2}) vertelt ons dat volgens onze conventie dat volume een scalair is, de componenten van moeten veranderen als we de coördinaten veranderen. Men zou kunnen argumenteren dat het logischer zou zijn om de transformatie in dit voorbeeld te zien als een verandering van eenheden, in welk geval de waarde van \(V\) verschillend zou zijn in de nieuwe eenheden; dit is een mogelijke alternatieve conventie, maar het zou het nadeel hebben dat het onmogelijk wordt om de transformatie-eigenschappen van een object af te lezen uit het aantal en de positie van zijn indices. Volgens onze conventie kunnen we de transformatie-eigenschappen wel op deze manier aflezen. Hoewel in paragraaf 7.4 deze eigenschappen alleen worden gepresenteerd voor tensoren van rang 0 en 1, en de algemene beschrijving van tensoren van hogere rang wordt uitgesteld tot paragraaf 9.2, zijn de transformatie-eigenschappen van een tensor van rang 4, zoals geïmpliceerd door zijn vier subscripts. Verschillende auteurs gebruiken verschillende conventies voor de definitie van \(\epsilon), die oorspronkelijk is beschreven door de wiskundige Levi-Civita.
Omdat volgens onze conventie \(\epsilon) een tensor is, noemen we het de Levi-Civita tensor. In andere conventies, waar \(\epsilon\) geen tensor is, kan hij worden aangeduid als het Levi-Civita-symbool. Omdat de notatie niet gestandaardiseerd is, zal ik af en toe bij belangrijke vergelijkingen waarin \(\epsilon) voorkomt, een geheugensteuntje zetten dat het om de tensor \(\epsilon) gaat.
De Levi-Civita tensor heeft heel veel indices. Eng! Stel je de complexiteit van dit beest voor. (We hebben vier keuzes voor de eerste index, vier voor de tweede, enzovoort, zodat het totaal aantal componenten 256 is. Wacht, grijp niet naar de kleenex. Het volgende voorbeeld laat zien dat deze complexiteit een illusie is.
Voorbeeld: Volume in Minkowski-coördinaten
We hebben onze definities zo opgesteld dat we voor het parallellepipedum \(\hat{t},\hat{x},\hat{y},\hat{z}), \(V = +1) hebben. Daarom
geldt dit per definitie, en omdat \(4)-volume Lorentz invariant is, voor elke verzameling Minkowski-coördinaten.
Als we \(x}) en \(y}) omwisselen tot de lijst \(\hat{t},\hat{y},\hat{x},\hat{z}), dan wordt het volume net als in figuur \(\PageIndex{5}}) \(-1), dus
Stel dat we de randen van ons parallellepipedum nemen als \(\hat{t},\hat{x},\hat{x},\hat{z}}), met \(y) weggelaten en \(x) gedupliceerd. Deze vier vectoren zijn niet lineair onafhankelijk, dus ons parallellepipedum is ontaard en heeft een volume van nul.
Uit deze voorbeelden blijkt dat als eenmaal een element van vastligt, alle andere ook bepaald kunnen worden. De regel is dat het verwisselen van twee willekeurige indexen het teken flipt, en dat elke herhaalde index het resultaat nul maakt.
Voorbeeld
Voorbeeld \(\PageIndex{4}\): Cartesische coördinaten en hun halveringsversies
Beschouw Euclidische coördinaten in het vlak, zodat de metriek een matrix van 2×2 is, en \(\epsilon _{ij}\) slechts twee indices heeft. In standaard cartesische coördinaten is de metriek g = diag(1,1), die g = 1 heeft. De Levi-Civita tensor heeft dus \(\epsilon _{xy} = +1}), en de andere drie componenten zijn hieruit op unieke wijze bepaald volgens de regels besproken in Voorbeeld \(\PageIndex{3}}). (We hadden alle tekens kunnen omwisselen als we voor het vlak de tegenovergestelde oriëntatie hadden willen kiezen). In matrixvorm resulteren deze regels in
Nu transformeren naar coördinaten \((x’,y’) = (2x,2y)\). In deze coördinaten is de metriek \(g’ = diag(1/4,1/4)\), met \(det;g = 1/16), zodat \(\epsilon _{x’y’} = 1/4), of in matrixvorm,
Voorbeeld \(\PageIndex{5}}): Poolcoördinaten
In poolcoördinaten ((r,θ)θ) is de metriek (g = diag(1,r^2)\), die determinant \(r^2)\) heeft. De Levi-Civita tensor is
(met dezelfde oriëntatie als in voorbeeld
Voorbeeld
Voorbeeld
: Oppervlakte van een cirkel
We zoeken de oppervlakte van de eenheidscirkel. De (getekende) oppervlakte is
waarbij de volgorde van dr en d zo gekozen is dat, met de oriëntatie die we voor het vlak hebben gebruikt, het resultaat positief is. Met behulp van de definitie van de Levi-Civita tensor hebben we