Modeller og strategier for tocifret addition og subtraktion

Den anden klasse er et meget vigtigt år, hvor eleverne udvikler deres færdighed med tocifret addition og subtraktion. Det er det år, hvor vi arbejder med et væld af additions- og subtraktionsstrategier, som eleverne kan bruge til at løse problemer. Vi bruger meget tid på at diskutere en række forskellige strategier, bruge mange forskellige modeller og lave mental matematik.

Hvorfor? For at udvikle elevernes fleksibilitet, når de løser matematiske problemer.

Den fælles kerne standard for tocifret addition & subtraktion er:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.5
Addér og subtraherer flydende inden for 100 ved hjælp af strategier baseret på stedværdi, operationernes egenskaber og/eller forholdet mellem addition og subtraktion.

Og standarden for trecifret addition og subtraktion, for at vise, hvor vi er på vej hen:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.7
Addér og subtraherer inden for 1000 ved hjælp af konkrete modeller eller tegninger og strategier baseret på stedværdi, operationsegenskaber og/eller forholdet mellem addition og subtraktion; relaterer strategien til en skriftlig metode. Forstå, at når man adderer eller subtraherer trecifrede tal, adderer eller subtraherer man hundreder og hundreder, tiere og tiere, ettere og ettere; og nogle gange er det nødvendigt at sammensætte eller dekomponere tiere eller hundreder.

Ingen steder i disse to standarder står der noget om den standardalgoritme, som vi alle har lært i skolen (højst sandsynligt med sproget “carry” og “borrow”), og standardalgoritmen er heller ikke direkte behandlet i Second Grade Common Core Standards. Læs til slutningen for at finde ud af, hvordan jeg behandler standardalgoritmen i vores klasseværelse.

Er du interesseret i en gratis sampler af nogle af mine produkter til tocifret addition og subtraktion?

Strategier vs. modeller

Hvis du er bekendt med mine Additions & Subtraktionsordproblemer, har du måske bemærket, at jeg gør en stor forskel mellem de strategier, der bruges, når de løser problemerne, og de modeller, eleverne anvender med disse strategier.

Strategier er som regel den måde, hvorpå eleverne nærmer sig og manipulerer tallene. Modeller er, hvordan strategierne er organiseret på papiret, så eleverne kan forklare eller se strategien.

Når jeg ser på standarderne ovenfor, kan jeg se, at strategierne er tydeligt noteret i standarden:

I 2.NBT.B.5 og strategierne er:

• pladsværdi
• operationernes egenskaber
• sammenhæng mellem addition og subtraktion

Standard 2.NBT.B.7 bemærker selv, at modellerne eller tegningerne (som jeg også kalder modeller) er adskilt fra de strategier, der er baseret på:

• pladsværdi
• operationernes egenskaber
• relation mellem addition og subtraktion

Som du kan se, er strategierne klart beskrevet i standarderne. Inden for hver af de ovennævnte generelle strategikategorier er der virkelig mange forskellige strategier, som eleverne kan bruge, og du kan give dem den betegnelse, som du ønsker i dit klasseværelse. Jeg kan godt lide at mærke dem med elevernes navne for at gøre det nemt at henvise til dem. På den måde kan vi henvise til Samanthas strategi, når vi løser et problem. Eller du kan mærke strategien med den handling, som eleven foretager i opgaven (f.eks.: Add Tens First).

Men jeg skelner dog stadig mellem strategien og modellen. Hvorfor? Fordi eleverne kan bruge flere strategier med én model. Der er ikke én rigtig måde at bruge modellen på, så længe eleven kan forklare sin tankegang. Modellerne (eller tegningerne) giver blot eleverne et værktøj til at forklare deres tankegang på papir eller med manipulatorer. Det er tankegangen, eller hvad eleverne gør med tallene, der er strategien. Det, de bruger til at vise det for dig, er modellen.

I al ærlighed er jeg ikke altid konsekvent med hensyn til at betegne noget som en strategi eller en model. Jeg forsøger at være det, men ligesom dig er jeg menneskelig og blander dem nogle gange sammen, især når jeg er i øjeblikket med eleverne. Det er en læringsproces, og det er noget, som jeg hele tiden reflekterer over gennem årene. Alt dette for at sige, at du måske ser et par ting, der er mærket på en bestemt måde, og stiller spørgsmålstegn ved etiketten. Kom bare i gang med at sætte spørgsmålstegn ved det, tænk over det, tænk over det og find ud af, om det er korrekt eller ej. Alt dette er stadig nyt for mange af os.

Her er nogle ankerdiagrammer, som jeg har brugt de sidste par år, der illustrerer nogle af nedenstående modeller og strategier.

Modeller til tocifret addition

Nedenfor er et par modeller, som vi bruger gør tocifret addition eller subtraktion. Er det de eneste modeller, du kan bruge? Nej, dette er ikke en udtømmende liste. De er, hvad jeg har fundet nyttige i klasseværelset for eleverne til at øve sig og bruge til at opbygge begrebsforståelse og talforståelse.

Tallinjer til tocifret addition og subtraktion

Jeg starter normalt med tallinjer, når jeg introducerer eleverne til papir/blyantmodeller. En åben tallinje er meget fleksibel. Eleverne kan lave spring af en eller ti (eller flere) og let manipulere den for at vise deres matematiske tænkning.

Jeg hjælper normalt eleverne med at komme til det nærmeste 10-tal eller venne- eller benchmark-tal, når jeg bruger en tallinje, fordi det er lettere at lave spring på 10. Det er et eksempel på forskellen mellem en model og en strategi. Modellen er tallinjen. Strategien er at foretage spring på 10.

Undervisning i, hvordan man bruger talelinjer, når man bruger 10 til at addere +9 og +8 fakta, størkner denne strategi, når eleverne skal addere større tocifrede tal.

Husk, talelinjen er modellen, og den kan bruges med en række forskellige strategier. Modellering og øvelse i at bruge en tallinje med lettere problemer vil hjælpe eleverne, når de skal bruge en tallinje med sværere problemer.

En af de daglige aktiviteter, som vi laver med tallinjer, er vores daglige matematik. Dette er et whiteboard-ark, som vi gennemgår dagligt. Tallinjen nederst hjælper eleverne med at befæste deres forståelse af både hvordan man bruger en tallinje og hvordan man “laver 100 eller laver 1000”.

Her er et par eksempler mere på, hvordan vi bruger tallinjer i klasseværelset.

Dette er fra min Roll & Spin Math Stations. I denne aktivitet øver eleverne sig i at lave spring på 10 og 100 op ad en tallinje.

Der findes også versioner, hvor eleverne også subtraherer 10 og 100 ned ad en tallinje. En af de færdigheder, eleverne har brug for for at få succes på talelinjer, er evnen til at foretage spring på 10 og 100.

Dette er et eksempel fra et af vores Addition & Subtraktionsordproblemer, hvor eleverne skulle regne et separat ukendt startproblem ud. Denne elev startede ved 15 og talte 35 spring og tog derefter et spring væk til sidst. Dette er også et godt eksempel på kompensation (se nedenfor), fordi eleven tilføjede en til 34 for at lave lettere spring og derefter tog den væk til sidst.

Dette er fra min Second Grade Cut & Paste Math Activities. I denne aktivitet øver eleverne sig i at lægge sammen, idet de starter ved det mindste tal og finder ud af, hvem der kan komme til det større tal ved at hoppe til de venlige tal. Denne elev startede ved 19, hoppede til 20, hoppede derefter 10 gange til 60 og hoppede 3 gange til 60. Eleven lagde deres spring sammen og fik 44.

Ovenstående er et par eksempler fra mine tocifrede additionsmatematikstationer. Mine elever havde brug for mere direkte øvelse med tallinjer og med at lave spring, på trods af al vores øvelse i hele gruppen. Så jeg gav dem anvisningerne, og eleverne fulgte dem på tallinjerne.

En nyere ressource, som jeg har udviklet for at hjælpe eleverne med at udvikle deres talforståelse, er Make 100 and Make 1000-ressourcen. Denne ressource indeholder MANGE aktiviteter, hvor eleverne øver sig i at lave 100 og lave 1000. Talrækker er en af aktiviteterne.

Jeg har også et helt blogindlæg om, hvordan man bruger en talelinje med endnu flere eksempler på, hvordan man kan udvikle tallinjestrategier i klassen.

Base-10-blokke

Base-10-blokke er en anden model, som jeg lærer eleverne at bruge; dog lærer jeg generelt eleverne at tegne base-10-blokke. Vi bruger rigtige skumklodser i klassen, men jeg forsøger at bevæge mig væk fra dem så hurtigt som muligt.

Hvorfor? Eleverne vil altid have blyant og papir til at løse problemer, men de vil ikke altid have manipulerende materiale til rådighed. At bruge base-10-blokke tager også meget tid. Jeg har ikke noget imod at bruge tid på dem, for de elever, der har brug for dem, men jeg vil også gerne skubbe eleverne til mere effektive værktøjer.

Her er et par eksempler på, hvordan vi bruger base-10-blokke:

De to ovenstående bruger base-10-blokke ved at tegne ternene ud som “pinde”, som vi kalder dem i vores klasseværelse. Disse særlige elever havde svært ved at tælle over 100 med ti-taller, så jeg fik dem til at tegne hvert tal i ti-taller, så tælle med ti-taller, indtil de nåede 100, og derefter begynde forfra med at tælle med ti-taller igen. Dette hjalp dem ikke kun med at addere tal ud over 100, men det gav dem også flere udgifter med vores base-10 talsystem.

Overstående eksempel er fra mine Two-Digit Addition Math Stations igen og er blot et grundlæggende problem – svarmatchning med base-10 blokrepræsentationer.

The Number Line blogindlægget har også en interessant visuel aktivitet til at hjælpe eleverne med at overgå fra base-10 blokke til talelinjer.

Strategier til tocifret addition

Som nævnt ovenfor er de tre vigtigste strategier, der er angivet i standarderne:

• pladsværdi
• operationernes egenskaber
• sammenhæng mellem addition og subtraktion

Nedenfor er der nogle få strategier, som vi bruger til at løse tocifrede additionsproblemer. De fleste af dem er baseret på stedværdistrategier, da jeg synes, at disse har tendens til at være lettere for eleverne at forstå og anvende. Igen er disse strategier, hvordan eleverne manipulerer tallene i problemet for at gøre det lettere at løse.

Ingen strategi er den “rigtige” strategi for alle elever til alle problemer. Nogle problemer egner sig til bestemte strategier på grund af tallene. Eleverne kan også skifte mellem strategier inden for det samme problem, afhængigt af hvordan de manipulerer tallene. Det vigtigste at se efter er, om eleven kan forklare sin tankegang, når han eller hun løser et problem.

Break Apart or Ungroup (Place Value)

Denne strategi kræver en smule mere mental matematikøvelse, men den kan være så effektiv. Den grundlæggende idé er, at tallet brydes op i tiere og enere, og derefter, enten ved hjælp af en tallinje, base-10-blokke eller bare tal, manipulerer eleverne med stykkerne for at lægge tallene sammen eller trække dem fra hinanden.

Afbrydning af tallets dele eller opdeling i grupper hjælper eleverne til at se værdien af stedværdi. Tusindpladsen er ikke bare 4. Dens værdi er 40 eller 4 tiere.

En ressource, der hjælper med at udvikle denne strategi, er bogen Number Talks (affilieret link). Vi laver talsamtaler gennem hele året, idet vi starter med additionsfakta og går over til tocifret addition og subtraktion ved årets udgang. Jeg elsker at se de strategier, som mine elever kan finde på! Bogen om talsamtaler er også en god bog, der hjælper med at udvikle lyttefærdigheder.

Tænk over problemet 64-47. Eleverne deler problemet op i 50+14-7-40 og fjerner delene efter stedværdi. Jeg ville nok starte med 14-7, men eleverne kan starte hvor som helst, der giver mening for dem.

Overstående eksempler kommer fra mine tocifrede additionsmatematikstationer og illustrerer, hvordan eleverne kan bryde tal fra hinanden og addere hver pladsværdi. At bryde fra hinanden kaldes også for at afgruppere eller dekomponere, afhængigt af det matematikprogram, du bruger.

Lagde du mærke til, at i en af opgaverne ovenfor tilføjede eleven 60 +40 og fik 106, men alligevel skrev han det korrekte svar på opgaven? Hvad tror du, der foregik med denne elev? Kan du så, at han ikke kunne lægge 60+40 sammen, lavede en dum fejl, eller er der en anden grund til, at han skrev 106? Når du ser eleverne interagere med disse typer af strategier, får du et sted at starte samtaler med dem om deres matematiske tænkning.

Et eksempel mere fra nogle Additionsopgavekort, hvor eleverne kun bryder det andet tal fra hinanden og derefter laver spring på 10 og 1 ved hjælp af 100’er og 1000’er diagrammer. Selv om vi giver masser af øvelse i at bruge et 100’er-skema i første klasse, oplever jeg, at eleverne ikke nødvendigvis overfører deres læring til større tal i anden klasse.

Add Tens to Tens and Ones to Ones (Place Value)

Dette ligner meget strategierne til at bryde dele, bortset fra, at tallene ikke brydes fra hinanden. Eleverne kan addere delene af tallet (tiere eller ettaller) mentalt, fordi de kender deres additionsfakta. Vi bruger grundlæggende en v-model til at tegne linjer, der forbinder ternene og adderer eller subtraherer disse dele.

Her er et eksempel på, hvordan vi har brugt det i klassen:

Subtract Tens, Subtract Ones (Place Value)

Som ved at addere ti til ti og en til en, subtraherer eleverne hver pladsværdi separat og trækker derefter enerne fra ti’erne (eller lægger det til). Der er grundlæggende to måder at bruge denne strategi på. Eleverne kan dekomponere en de ti eller eleverne kan bruge negative tal.

En måde, hvorpå jeg bruger denne strategi med eleverne, er med negative tal. Jeg ved godt, at vi ikke underviser i negative tal i 2. klasse, men for nogle elever er dette virkelig en måde, som de forstår og kan holde fast i mere end de andre strategier. Du kan se eksempler på dette i andet og tredje ankerdiagram ovenfor.

Tænk på 64-47. Hvis jeg trækker 4-7 fra, får jeg -3. Jeg fortæller eleverne, at det større tal har et minustegn foran sig, og at der derfor stadig er mere, der skal trækkes fra. Eleverne trækker så 60-40 fra, får 20 og trækker der mere fra for at få 17.

Tæl ned / tænk addition (tæl op) / læg op (forholdet mellem addition & subtraktion eller stedværdi)

Jeg er ikke helt sikker på, om denne strategi handler om forholdet mellem addition og subtraktion eller stedværdi. Tænk additionsstrategien ligner (hvis ikke den samme som) Count Up eller Add Up. Denne strategi minder også meget om Break Apart-strategien, idet eleverne skal bryde mindst et af tallene fra hinanden for at lyde op eller ned efter tallets dele.

Selv om eleverne kan tælle med ettere, vil jeg stærkt opfordre dig til at hjælpe dem med at bevæge sig mod mere effektive strategier og tælle med ti og derefter ettere. Ved at bruge et hundredtalskema kan eleverne øve sig i at bevæge sig med 10-taller op og ned i skemaet. Et hundredtalskema er en slags komprimeret tallinje. Se ovenstående billede med 100’er- og 1000’er-skemaerne.

Her er et par eksempler på at tælle opad:

De to ovenstående eksempler er bare dem, vi gjorde på whiteboardet, og jeg fik eleverne til at skrive ned i deres notesbøger.

Dette er en side fra mine Two-Digit Subtraction Flap Books. Disse flapbøger gennemgår flere forskellige modeller og strategier og giver eleverne øvelse i ordforråd og i at forklare deres tankegang.

Det, jeg ELSKER ved disse flapbøger, er, at eleverne kan dykke dybt ned i et aspekt af tocifret subtraktion og knytte sprog til de tal og processer, som de bruger.

Use Compensation (Properties of Operations)

Denne sidste strategi er i modsætning til alle de foregående. Du skal grundlæggende sørge for, at tallene er afbalancerede inden for problemet, og at du tager højde for alle dele. Det er en forløber for algebra og en god strategi til mental matematik.

Der er et par forskellige måder at bruge kompensation på, men den grundlæggende idé er, at du lægger noget af et tal til eller trækker noget af det ene tal fra og lægger det til det andet tal for at skabe et venligt tal. Du skal holde styr på, hvad der blev lagt til eller taget fra, og tage højde for det på en eller anden måde i opgaven.

Kompensation er især nyttig for tal, der ligger tæt på venlige tal, selv om det kan bruges til alle tal. F.eks. kan 68 – 39 omdannes til 69 – 40. Jeg har tilføjet en til hvert tal. Værdien af en +1 og -1 er 0, så jeg har ikke ændret problemet overhovedet.

Her er et andet eksempel: 53 + 38. Jeg kan tilføje 53 + 40 og få 93, men fordi jeg har lagt to til 38 for at komme til 40, skal jeg trække to fra 93 for at få 91.

Den grundlæggende idé med kompensation er, at man justerer en del af tallet til et venligt tal for at gøre det nemmere at addere eller trække fra. Men når du justerer et tal, skal du holde styr på, hvad du har justeret, og kompensere for det.

Hvad skal eleverne vide, før de kan bruge disse strategier?

De ovennævnte strategier er meget effektive, hvis eleverne kan tilføje dem til deres værktøjskasse, når de nærmer sig tocifret addition og subtraktion. For at kunne bruge ovenstående strategier effektivt skal eleverne dog have nogle få ting på plads.

Additions- og subtraktionsfakta – Eleverne skal have ret god færdighed med deres additions- og subtraktionsfakta. Har de brug for at have dem alle udenad med hurtighed? Nej. Men hvis eleverne bruger for meget tid på at forsøge at regne et additionsfaktum ud, og det forhindrer dem i at fokusere på strategien, fordi de glemmer, hvad de lavede, så har de brug for større færdighed med deres additions- og subtraktionsfakta. Mine automatikvurderinger hjælper eleverne med at øve deres fakta efter strategi.

Færdighed til at finde venlige tal – I begyndelsen af året bruger vi lang tid på at udvikle flydende færdigheder med 10 som et benchmarktal. Selv om vi gør det i begyndelsen af året for at hjælpe os med vores matematiske faktafærdighed, er det også gavnligt, når eleverne begynder deres rejse med at addere og subtrahere tocifrede tal. Eleverne skal vide, hvordan de kan komme til det næste venlige tal, hvilket i bund og grund er deres 10s-fakta, men ved at anvende dem på tocifrede tal for at finde det næste ti-tal.

Tilføjelse af 10 til et tal – Vi starter vores tocifrede additionsenhed med en masse øvelse i at tilføje og trække 10 fra et tal. Dette er en grundlæggende færdighed i både mine tocifrede additionsprodukter såvel som mine tocifrede subtraktionsprodukter. Eleverne skal se mønsteret i at lægge 10 til et tal.

Placerværdi – For at kunne lave tocifret addition skal eleverne have et stærkt fundament i begrebet enere og tiere, og hvad det betyder at dele et tal op i enere og tiere. Fra den første skoledag laver vi daglige matematikøvelser, der opbygger en flydende forståelse af stedværdi samt at springe tælling af 10-taller fra et hvilket som helst tal over.

Underviser jeg i den traditionelle algoritme?

Ja og nej. Ja, jeg underviser i begrebet omgruppering, og ja, jeg underviser eleverne i at bevæge sig mod effektivitet, når de adderer og subtraherer. Det kan omfatte den traditionelle algoritme, hvis de kan forstå meningen bag den.

Elverne behøver ikke at bruge standardalgoritmen før fjerde klasse (i henhold til Common Core Standards). Kan de gøre det tidligere? Måske.

Jeg eksponerer dem for den i anden klasse som en model, de kan bruge; vi bruger dog ikke meget tid fokuseret på den, fordi jeg ønsker, at eleverne skal udvikle strategier til problemløsning og ikke være bundet til en model.

Når vi arbejder med den traditionelle algoritme, knytter vi en masse sprog og mening til den og knytter den generelt til arbejde, vi allerede har udført, som f.eks. vores arbejde med base-10-blokke. Her er et par eksempler på Jeg underviser eleverne i den traditionelle algoritme ved at knytte den til modeller, vi allerede har brugt, og ved at give eleverne et præcist sprog, som de kan bruge til at forklare deres tankegang.

Her er et par eksempler på, hvordan jeg giver eleverne erfaring med den traditionelle algoritme.

Lagde du mærke til, at der skulle stå 7 tiere og 11 enere? Eleven var ikke opmærksom på base-10 blokkene!

Disse kommer fra min Decompose a Ten-pakke, som balancerer arbejdet med den traditionelle algoritme med base-10-modeller og giver eleverne sproget for at nedbryde tal.

Whew – det er mange oplysninger at fordøje! Der er mange forskellige modeller og strategier, som en elev kan bruge til at løse tocifrede additions- og subtraktionsopgaver. Det, jeg skitserede ovenfor, er nogle få, som jeg har fundet særligt nyttige for eleverne. De hjælper eleverne med at udvikle et solidt grundlag med tocifret addition og subtraktion, skaber en bro til trecifret addition og subtraktion, samt understreger ideen om at bruge strategier og modeller til at løse problemer, og ikke bare følge trin i en proces.

Hvis du underviser i anden klasse, vil du måske kunne lide et par sider fra nogle af mine tocifrede addition og subtraktionsprodukter. Jeg har samlet denne PDF med ressourcer som en sampler fra flere forskellige produkter, der virkelig understreger alt det arbejde, vi gør i vores klasseværelse for at udvikle disse strategier i dybden.

De forskellige komponenter i samleren kan bruges i hele grupper eller i små grupper og er perfekte til at hjælpe dine elever med at tænke ud af boksen, når det gælder om at løse addition og subtraktion med flere cifre.

Two-Digit Resources Mentioned Above

Her er en liste med links til alle de tocifrede addition og subtraktion ressourcer, der er nævnt ovenfor. De kan købes på mit websted eller på Teachers Pay Teachers.

• Roll and Spin Math Stations
• Cut and Paste Math Activities for Second Grade (TpT)
• Two-Digit Addition Math Centers (TpT)
• Two-Digit Subtraction Math Centers (TpT)
• Addition Task Cards Using 100s Charts (TpT)
• Two-Tal Subtraktion Flap Books (TpT)
• Decompose a Ten Task Cards (TpT)

Mange af ovenstående er også inkluderet i en Two-Digit Addition and Subtraction BUNDLE (TpT).