Fortsat på temaet 15-75-90 trekanter (se: Sidste gang og Første gang) er der for nylig dukket flere interessante riffs på 15-75-90’er i en kasse op.
Eksempel på opdeling af et kvadrat med fire 15-75-90 trekanter:
Som det ofte er tilfældet, er det ligetil at finde det relative areal af trekanterne og kvadratet ved hjælp af trigonometri:
Lad s være længden af siderne i kvadratet:
Arealet af hver trekant = \(\frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) og ved hjælp af de dobbelte vinkelformler
\(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) så efter substitution og med viden om sin(30) = \(\frac{1}{2}{2}\) fremkommer arealet = \(\(\frac{1}{8}s^2\)
Men hvorfor sker dette? Som sædvanlig ligger der som regel en 30-60-90 trekant på lur, der tillader en euklidisk forklaring.
Det særligt interessante ved dette er, at det antyder, at der findes dissektioner til at omdanne en 1/4 eller 1/8 af det større kvadrat til trekanterne, og ganske rigtigt skubber man 1/4 trekanten ABO, indtil den bliver til 2 15-75-90′!
Men lad os vende tilbage til det oprindelige problem. Der er en anden nem forklaring på, hvad der sker, som blot bruger trekantens forholdstal:
1. Bemærk, at arealet af denne trekant er \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Ved at kvadrere hypotenusen får du \(4(2 – \sqrt{3})\), hvilket er 8 gange trekantens areal.
3. Eller med andre ord er hver trekant 1/8 af det kvadrat, der er lavet på hypotenusen.
Og vi har fundet vores oprindelige resultat igen.
Videre spørgsmål: Jeg vil overlade det til læseren at afgøre, hvilken opgave baseret på denne egenskab der er sjovest (fra @eylem og @sansu-seijin):
Hvor stort er det skraverede område, når kvadratet har en længde på 6 cm?