Numerisk beregning
Udviklingen af nye metoder til numerisk beregning var et svar på de øgede praktiske krav til numerisk beregning, især inden for trigonometri, navigation og astronomi. Nye idéer spredte sig hurtigt over Europa og resulterede i 1630 i en større revolution i numerisk praksis.
Simon Stevin fra Holland introducerede i sin korte pamflet La Disme (1585) decimalbrøker i Europa og viste, hvordan man kunne udvide principperne i den hindu-arabiske aritmetik til beregning med disse tal. Stevin understregede nytten af decimalaritmetik “til alle regnskaber, som man støder på i menneskers anliggender”, og han forklarede i et appendiks, hvordan den kunne anvendes til landmåling, stereometri, astronomi og måling. Hans idé var at udvide base-10-positionsprincippet til at omfatte tal med brøkdele, med en tilsvarende udvidelse af notationen for at dække disse tilfælde. I hans system blev tallet 237,578 betegnet
i hvilket cifrene til venstre for nullet er den integrale del af tallet. Til højre for nullet er cifrene i brøkdelen, hvor hvert ciffer efterfølges af et indcirklet tal, der angiver den negative potens, som 10 er hævet til. Stevin viste, hvordan den sædvanlige aritmetik for hele tal kunne udvides til decimalbrøker ved hjælp af regler, der fastlagde placeringen af de negative potenser af 10.
Ud over sin praktiske anvendelighed var La Disme betydningsfuld for den måde, hvorpå den underminerede den klassiske græske geometris dominerende stil i den teoretiske matematik. Stevins forslag krævede en afvisning af sondringen i euklidisk geometri mellem størrelse, som er kontinuerlig, og tal, som er en mangfoldighed af udelelige enheder. For Euklid var enhed, eller ét, en særlig slags ting, ikke tal, men talets oprindelse eller princip. Indførelsen af decimalbrøker syntes at indebære, at enheden kunne underopdeles, og at en vilkårlig kontinuerlig størrelse kunne repræsenteres numerisk; det forudsatte implicit begrebet om et generelt positivt reelt tal.
Tabeller over logaritmer blev første gang offentliggjort i 1614 af den skotske laird John Napier i hans afhandling Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Dette værk blev (posthumt) fulgt fem år senere af et andet værk, hvori Napier redegjorde for de principper, der blev anvendt ved opbygningen af hans tabeller. Den grundlæggende idé bag logaritmerne er, at addition og subtraktion er lettere at udføre end multiplikation og division, der, som Napier bemærkede, kræver en “kedelig tidsforbrug” og er udsat for “glidende fejl”. I henhold til loven om eksponenter er anam = an + m; det vil sige, at ved multiplikation af tal er eksponenterne relateret additivt. Ved at korrelere den geometriske talrække a, a2, a3,… (a kaldes basen) og den aritmetiske række 1, 2, 3,… og interpolere til brøkværdier, er det muligt at reducere problemet med multiplikation og division til et problem med addition og subtraktion. Napier valgte derfor en base, der lå meget tæt på 1, idet den kun afveg fra 1/107. Den resulterende geometriske sekvens gav derfor et tæt sæt af værdier, der var egnet til at konstruere en tabel.
I sit værk fra 1619 præsenterede Napier en interessant kinematisk model til at generere de geometriske og aritmetiske sekvenser, der blev brugt i konstruktionen af hans tabeller. Antag, at to partikler bevæger sig langs separate linjer fra givne begyndelsespunkter. Partiklerne begynder at bevæge sig på samme tidspunkt med samme hastighed. Den første partikel fortsætter med at bevæge sig med en hastighed, der er aftagende, og som i hvert øjeblik er proportional med den resterende afstand mellem den og et givet fast punkt på linjen. Den anden partikel bevæger sig med en konstant hastighed, der er lig med dens udgangshastighed. I et vilkårligt tidsinterval danner de afstande, som den første partikel tilbagelægger i på hinanden følgende intervaller, en geometrisk aftagende sekvens. De tilsvarende afstande, som den anden partikel tilbagelægger, danner en aritmetisk stigende rækkefølge. Napier var i stand til at bruge denne model til at udlede sætninger, der giver præcise grænser for tilnærmede værdier i de to sekvenser.
Napiers kinematiske model viste, hvor dygtige matematikere var blevet i begyndelsen af det 17. århundrede til at analysere uensartede bevægelser. Kinematiske ideer, som optrådte hyppigt i periodens matematik, gav et klart og visualisérbart middel til at generere geometriske størrelser. Opfattelsen af en kurve, som en partikel, der bevæger sig gennem rummet, tegner, spillede senere en vigtig rolle i udviklingen af regnearket.
Napiers ideer blev taget op og revideret af den engelske matematiker Henry Briggs, den første Savilian Professor of Geometry i Oxford. I 1624 udgav Briggs en omfattende tabel over almindelige logaritmer, eller logaritmer til base 10. Da basen ikke længere var tæt på 1, kunne tabellen ikke fås så enkelt som Napiers, og Briggs udviklede derfor teknikker, der involverede finite differensberegning, for at lette beregningen af posterne. Han udtænkte også interpolationsprocedurer af stor beregningseffektivitet til at opnå mellemliggende værdier.
I Schweiz kom instrumentmager Joost Bürgi på ideen om logaritmer uafhængigt af Napier, selv om han ikke offentliggjorde sine resultater før 1620. Fire år senere udkom en tabel over logaritmer udarbejdet af Kepler i Marburg. Både Bürgi og Kepler var astronomiske observatører, og Kepler inkluderede logaritmiske tabeller i sine berømte Tabulae Rudolphinae (1627; “Rudolphine Tables”), astronomiske tabeller over planeters bevægelser, der blev udledt ved hjælp af antagelsen om elliptiske baner om solen.