En kromatisk skala i vestlig musik opdeler en oktav i 12 dele. Der er lidt forskellige måder at opdele oktaven i 12 dele på, og de forskellige tilgange har en lang og subtil historie. Dette indlæg vil se på roden til forskellene.
En oktav er et forhold på 2 til 1. Antag, at en streng med en bestemt spænding og længde producerer et A, når den plukkes. Hvis du gør strengen dobbelt så stram, eller hvis du beholder den samme spænding og skærer strengen over på midten, vil strengen lyde A en oktav højere. Den nye lyd vil vibrere luften dobbelt så mange gange i sekundet.
En kvint er et forhold på 3 til 2 på samme måde som en oktav er et forhold på 2 til 1. Så hvis vi starter med et A 440 (en tonehøjde, der vibrerer med 440 Hz, 440 vibrationer pr. sekund), så vibrerer E en kvint over A med 660 Hz.
Vi kan gå opad med kvint og nedad med oktaver for at frembringe alle toner i den kromatiske skala. Hvis vi f.eks. går endnu en kvint op fra E 660, får vi et B 990. Hvis vi så går en oktav ned til B 495, får vi B et trin over A 440. Dette siger, at et “sekund”, som f.eks. intervallet fra A til B, er et forhold på 9 til 8. Dernæst kunne vi frembringe F# ved at gå en kvint op fra B osv. Denne progression af noder kaldes for kvintcirklen.
Næste gang tager vi en anden fremgangsmåde. Hver gang vi går op med et halvt trin i den kromatiske skala, øger vi tonehøjden med et forhold r. Når vi gør dette 12 gange, går vi en oktav op, så r12 må være 2. Dette siger, at r er den 12. rod af 2. Hvis vi starter med et A 440, må tonehøjden n halve trin højere være 2n/12 gange 440.
Nu har vi to måder at gå en kvint op på. Den første metode siger, at en kvint er et forhold mellem 3 og 2. Da en kvint er syv halvtrin, siger den anden metode, at en kvint er et forhold mellem 27/12 og 1. Hvis disse er lige store, har vi bevist, at 27/12 er lig med 3/2. Desværre er det ikke helt sandt, selv om det er en god tilnærmelse, fordi 27/12 = 1,498. Forholdet 3/2 kaldes en “perfekt” femtedel for at adskille det fra forholdet 1,498. Forskellen mellem perfekte kvintet og almindelig kvint er lille, men den forstærkes, når man bruger perfekte kvintet til at konstruere hver tonehøjde.
Den fremgangsmåde, der gør hver tone via perfekte kvintet og oktaver, er kendt som pythagoræisk stemning. Den fremgangsmåde, der anvender 12. grundtone af 2, er kendt som lige temperament. Da 1,498 ikke er det samme som 1,5, giver de to fremgangsmåder forskellige stemmesystemer. Der findes forskellige kompromiser, som forsøger at bevare aspekter af begge systemer. Hvert sæt kompromiser giver et andet stemmesystem. Og faktisk er det pythagoræiske tuningssystem lidt mere kompliceret end beskrevet ovenfor, fordi det også indebærer nogle kompromiser.
Relateret indlæg: Cirkel af femtedele og talteori