Del 1:
Del 2: En oversigt over parhandel
Del 3: Konklusion
1- Hvad er parhandel
Som en indledning til vores aktuelle emne vil jeg stærkt anbefale at læse en anden artikel, som jeg har skrevet om begrebet arbitrage.
Med det sagt kan jeg formelt introducere definitionen af arbitrage som sådan:
En arbitrage (portefølje) er en, hvor du ikke betaler noget for at gå ind i den, og du laver en vis risikoløs positiv fortjeneste.
Der er et par tilfælde på markedet, hvor arbitragemuligheder opstår. Den, vi vil overveje, vil være et tilfælde mellem aktier. Det betyder i bund og grund, at vi vil udnytte en statistisk egenskab mellem to forskellige aktier på den samme børs.
Nu,
1.1 Hvad er parhandel?
Parhandel er en strategi, der består af to komponenter: A) Identificering af et par aktier, der bevæger sig ens og besidder middelværdiomvendte egenskaber & B) Salg af den højt prissatte aktie og køb af den lavt prissatte aktie.
Tricket er naturligvis at kunne identificere parret (A) og derefter finde en passende foruddefineret ind- og udtrædelsesstrategi (B).
Det er karakteriseret som en markedsneutral strategi, der hører til familien af statistiske arbitragemetoder. Med markedsneutral menes, at denne strategi ikke påvirkes af pristendenser (opadgående eller nedadgående) – dette er et resultat af afdækningen af hver enkelt bestanddel af parret.
Der er tre primære tilgange til parhandel:
- Distance-tilgang
- Stokastisk tilgang
- Kointegrationstilgang
Den, vi vil fokusere på, er kointegrationstilgangen.
1.2 Hvor hyppigt forekommer denne forekomst/arbitragemulighed?
Ikke særlig hyppigt. For bedre at forstå, hvorfor det ikke er hyppigt, bør vi forstå, hvorfor de overhovedet opstår. Først og fremmest opstår arbitragemuligheder på grund af en ineffektivitet på markedet – som er et ikke-ligevægtsfænomen.
Årsagen til denne ineffektivitet kan være alt fra en række fejl som f.eks. en forsinkelse i informationsformidlingen. I begyndelsen af denne moderne tekno-industrielle (MTI) form for civilisation er forsinkelser meget minimale, hvorfor de sjældne tilfælde af muligheder kun er forbigående og eksisterer minimalt og i korte perioder.
2- En oversigt over parhandel
I denne del vil vi opbygge en praktisk viden om: tidsserier, stationaritet, kointegration, regression og residualer samt enhedsrodstests.
Dernæst vil vi anvende denne viden i: porteføljekonstruktion, udformning af en konservativ handelsstrategi og derefter backtesting.
2.1 Tidsserier
En tidsserie er et sæt af datapunkter, der er kronologisk ordnet i overensstemmelse med tidspunktet for deres forekomst. Tid kan måles i sekunder, minutter, timer, dage, måneder eller år.
Lad os antage, at der findes en vilkårlig tidsserie Y:
Y={Yt:t∈T} ; hvor T er mængden af naturlige tal
essentielt set,
t: t₁, t₂, …, tn
Yt: Yt₁, Yt₂, …, Ytn
Et eksempel på en tidsserie ville være prisen på en aktie over tid i dage eller befolkningen over tid i år.
Nogle vigtige karakteristika ved tidsserier
- Trend: Er det opadgående eller nedadgående?
- Sæsonbetonethed: er der regelmæssigt gentagne mønstre?
- Tilfældige bevægelser: er der en tilsyneladende uregelmæssig karakter?
- Stationæritet: ændrer de statistiske egenskaber sig ikke over tid?
Karakterisering af tidsserier giver os frihed til at skabe eller anvende modeller, der kan føre til, at vi bliver klar over vigtige oplysninger. I forbindelse med parhandel vil vi undersøge en af egenskaberne, som er stationæritet.
2.2 Stationæritet
Simpelt sagt er stationæritet, når en tidsseries middelværdi og varians er konstant, og kovariansen er uafhængig af tiden. Visuelt ser en stationær tidsserie flad ud uden patologisk tendens og uden sæsonudsving. Den er også middelværdifremkaldende.
Hvis en tidsserie er stationær, så har den en integration af orden nul I(0).
Vi kan ikke udlede, om en tidsserie er stationær ud fra visualisering. Vi burde gøre brug af en ramme af statistiske metoder for at udlede, om den faktisk er stationær.
Der er tre betingelser, der skal være opfyldt, således at en vilkårlig tidsserie Yt defineres som stationær:
- E er konstant for alle t (dette indebærer middelværdiomvending)
- Var er konstant for alle t
- Covar er konstant for alle t
Hvis et aktiepar kan identificeres med høj grad af sikkerhed for at være stationært, kan vi med succes bruge dette par i vores parhandelsstrategi.
Hvad er en autoregressiv (AR)-model?
Det er en repræsentation af en type tilfældig proces. I vores tilfælde vil det være en random walk, som vil være en tilnærmelse af diskretisering af Brownsk bevægelse (som bruges til at modellere aktiekurser). Den angiver, at udgangsvariablen afhænger lineært af sine egne tidligere værdier og en tilfældig variabel – den er således i form af en stokastisk differensligning.
Dette repræsenteres således,
Yt=ρYt-₁+Ɛt ; hvor Ɛt er en uafhængig normalfordelt tilfældig variabel.
Det er vigtigt at bemærke, at da ovenstående ligning er en AR-model af orden 1, vil vi derfor betragte en forsinkelse (L) på 1.
Der er to vigtige eksempler på stationære tidsserier og deres respektive egenskaber:
- Afhænger ikke af tiden
- Hvid støj
2.3 Kointegration
Husk,
Hvis en tidsserie er stationær, så har den en integration af orden nul I(0).
Ja, så bygger vi videre på det.
Så lad os antage, at vi har et par aktier, som vi gerne vil identificere som et par eller ej (med henblik på parhandel).
Lad tidsserien Xt være aktie A og Yt være aktie B. Begge disse tidsserier er AR-modeller;
Xt=ρXt-₁+Ɛt og Yt=ρYt-₁+Ɛt ; antag, at Ɛt er den samme for begge serier.
Så hvis vi kombinerer disse serier i et bestemt forhold, vil vi få en ny serie μt, der kun består af de ikke-tilfældige komponenter i AR-modellerne.
Nu antages det i et mere generelt tilfælde, at disse to tidsserier begge er integreret af orden 1 (I(1)) og således fra starten er ikke-stationære. Lad os også forvente, at de også er AR-modeller (af orden 1), hvor den tilfældige komponent er ophævet (på grund af deling af fælles stokastiske tendenser (Ɛt)) – der er så en mulighed for, at en lineær kombination af serierne vil give en stationær I(0)-serie. Det er dette, hvad kointegration er.
Hvad er forskellen på kointegration og korrelation?
Mens både kointegration og korrelation kan måle aktivpriser, der bevæger sig sammen, og dermed etablere en sammenhæng, bryder korrelation sammen på lang sigt, men er noget robust til at identificere kortsigtede sammenhænge. I mellemtiden passer kointegration meget bedre til en handelsstrategi på mellemlang til lang sigt. Korrelationer anvendes også oftest til at specificere afkastets sambevægelse, mens kointegration specificerer prisernes sambevægelse.
Husk dette?
… vi vil udnytte en statistisk egenskab mellem to forskellige aktier på samme børs.
Denne statistiske egenskab, som vi henviste til, var stationæritet ved hjælp af kointegrationsmetoden.
Kointegrationsmetoden til at finde par
Den vigtigste idé er, at vi har to tidsserier, der ikke er stationære, men som bliver stationære ved differentiering (I(1)). Disse tidsserier kaldes integrerede (af orden 1). Der findes integrerede (af orden 1) tidsserier, således at der findes en lineær kombination af dem, som bliver stationær (I(0))(som det ses i figur 2.3.1).
Vi kan opdele denne proces i tre hovedtrin:
- bruge regressionsanalyse til at regressere de naturlige logaritmer af de to aktiers priser mod hinanden – finde kointegrationskoefficienten
- beregne residualerne fra regressionen
- statistisk teste, om residualerne er stationære ved hjælp af Dickey-Fuller-testen (DF)
I nedenstående grafer tog vi den historiske pris på Citigroup Inc. aktie fra 20/07/18 til 20/07/19 (daglig frekvens). Ved hjælp af Matlab genererede vi følgende grafer: