7.6: Volume, Orientation, and Levi-Civita Tensor

Orientation

Figure (\PageIndex{5}): Linearity of area requires to assign some areas a negative values.このように、面積の線形性にはマイナスの値を割り当てる必要があります。 この2つの領域を比較すると、方向性の違いだけであることが分かります。 任意に領域を設定した場合、ベクトルbはベクトルaから反時計回りになっていますが、aがflippedの場合は時計回りになっています。

通常の1年生物理を学んだ人なら、この問題の特殊な扱い方を見たことがあると思います。それは、3次元が存在すると仮定し、その面積をthe plane inhabited by \(a) and \(b) に垂直なベクトルの交差積Ⓐ(a×b) と定義するという方法です。 この方法の問題点は、3次元でしか使えないことである。 4次元の場合、aが “the \(x) -axis” に沿って、そして “the \(b) -axis” に沿って存在するとします。 とすると、両者に垂直な方向であるべきですが、そのような方向は1つだけではありません。 この問題をm次元で考えるには、まず \(m) が必ずしも \(3) と等しくない場合、 \(m) -dimensional parallelepiped span by \(m) vectors の Volume を考えてみましょう。 例えば、(4)次元時空において、ミンコフスキー座標の4つの軸に沿った単位ベクトル( \hat{t},\hat{x},\hat{y}; \text{and}; \hat{z})を選んだとしましょう。 反可換であるベクトルのcross productの経験から、結果の符号はベクトルの順番に依存すると予想されるので、その順番で考えてみましょう。 この体積の妥当な値は、明らかに2つしか考えられません。 \(+1 ㏄) or \(-1 ㏄). その選択は恣意的なので、恣意的な選択をする。 仮にこの次数で言うと \(+1) とする。 これは時空の向きを選ぶことになります。

隠れた自明な前提は、一度時空のある地点でこの選択をしたら、時空の他の領域にも矛盾なく持ち越せるということでした。

しかし、今のテーマは特殊相対論であり、2.4節で説明したように、特殊相対論では通常、時空は位相的につまらないという前提になっているので、この問題は一般相対論でのみ、しかもおそらく我々の宇宙の現実的なモデルではない時空でのみ発生するのである。

Since \(4)-volume is invariant under rotations and Lorentz transformations, we choice of an orientation suffices to fix a definition of \(4)-volume that is a Lorentz invariant. Vectors \(a), \(b), \(c), and \(d) span a \(4)-parallelepiped, and the linearity of volume is expressed by saying that there is a set of coefficients \(\epsilon _{ijkl}) such that

notating this way suggest it is interpret that abstract index notation.If we are notable in volupicates, ということは、ローレンツ不変量だけでなく、スカラーでもあるということです。

例題の結果から、体積はスカラーであるという慣習の下では、座標を変更するとofの成分が変化しなければならないことがわかります。 この例での変換は単位が変わったと考えた方が論理的で、その場合、新しい単位では(Vxx)の値は異なるという考え方もできますが、その場合、インデックスの数と位置からオブジェクトの変換特性を読み取ることができなくなる欠点があります。 しかし、この方式では、インデックスの数と位置からオブジェクトの変換特性を読み取ることができない。 7.4節では、テンソルのランクが \(0) と \(1) の場合についてのみ説明し、高ランクテンソルの一般的な説明は9.2節に譲ったが、 \(epilon) の変換特性は、その4つの添字が意味するように、ランク \(4) のテンソルのものである。 この定理は数学者Levi-Civitaが提唱したもので、著者によってその定義が異なる。 Tullio Levi-Civita（1873～1941）は無限小を持つ数系のモデルや微分幾何学の研究に従事した。 アインシュタインは彼の教科書から学んだテンソル表記法を考案した。 パドヴァやローマ大学で名誉ある寄付講座に任命されたが、ユダヤ人であり反ファシストであったため、1938年に解雇された。

我々の慣習では、(epsilon) はテンソルなので、Levi-Civitaテンソルと呼んでいる。 また、他の慣例では \(⊖epsilon⊖)がテンソルでない場合、Levi-Civita symbolと呼ばれることもある。 表記が統一されていないので、重要な方程式の横に「これはテンソルです」と注意書きをすることもある。 怖っ！ この獣の複雑さを想像してみろ (泣) 最初のインデックスが4つ、2番目のインデックスが4つ…といった具合に、構成要素の数は全部で…╱(╱௰╱)╱となります。 待てよ、ティッシュを手に取るんじゃない。 次の例は、この複雑さが幻想であることを示しています。 Volume in Minkowski coordinates

平行六面体の場合、V = +1 となるように定義しました。 Therefore

by definition, and because \(4) -volume is Lorentz invariant, this holds for any set of Minkowski coordinates.

このとき、ⒶとⒷを入れ替えて、Ⓑ（Ⓐhat{t},Ⓐhat{y},Ⓐhat{x},Ⓐhat{z} ）とすると図のように、体積が(-1 )となり、Ⓖが(Ⓖhat {5} )となります。 そこで

この平行六面体の辺を \(\hat{t},\hat{x},\hat{x},\hat{z}) とし、但し \(y) は省略、但し \(x) は重複しているとします。 これらの4つのベクトルは線形独立ではないので、この平行六面体は縮退しており、体積はゼロである。

これらの例から、ofのいずれかの要素が確定すれば、他の要素もすべて確定できることが分かる。 ルールは2つのインデックスを入れ替えると符号が反転し、インデックスを繰り返すと結果が0になることである。

Example \(\PageIndex{3}) shows that fancy symbol the \(\epsilon _{ijkl}) looks like a secret Mayan hieroglyph invoking \(256} different numbers, actually encode only one numbers’ worth of information, every components of the tensor either equal this number, or minus this number, or zero. ミンコフスキーでない座標で作業しているとして、この数を見つけたい。 これを求めるには、ランク(4)テンソルのテンソル変換法則(9.2節)を使うのが複雑な方法であろう。 もっと簡単な方法は、例題6.2.1で説明した距離の行列式を利用することである。 座標ijklのリストを正の方向と定義した順序で並べ替えると、結果は単に \(epsilon _{ijkl} = \sqrt{left | det}; g \right |}) になります。 相対論的なメトリックは負の行列式を持つので、絶対値の符号が必要です。

となる。