あなたは因果関係の定義を間違えています。 実はもっと単純で、もっと直感的なものなのです。 因果系とは、出力が将来の入力の値に依存しない系である。 この性質は線形系に限ったことではなく、一般的な系に適用することができます。 以下、いくつかの例で説明します。
因果的線形時不変システム：
$y = x – 2x + 0.5y$$
ここで$y$は現在と過去の$x$と$y$の値のみに依存する。
非因果的線形時不変システム：
$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}x$
中心移動平均としても知られていますが、出力$y$については、$x$項が我々の入力の未来を覗いているのでこの関数が非因果的であると言えます。
因果的非線形時不変システム：
$y = \cos(x)$$
これは、あなたが提供した例です。 もうお分かりかもしれませんが、将来の入力を見ることはないので、この系は因果的です。 実は、それ以上に特殊です。
因果的線形時間変動システム：
$y = (n+1)x$
これは、ちょっと頭を使うように作りました。 一見すると、この$(n+1)$という項があるので、この系は非因果的であるように見えるかもしれません。 しかし、これは $x$ の時間指数ではないので、関係ありません。 まだ、入力の現在値しか見ておらず、先を覗いているわけではありません。
A tricky causal non-linear time-varying system:
$y = e^nx + \lnleft(\left|xright|+1theright) – \pi y$
明らかにこれは$y$項があって非因果系ですよね？ 違う! これは再帰的因果系の古典的な定義で、いくつかの項を並べ替えたものです。 3つのステップを経て、より標準的な形に直していきます。y = e^nx + \lnคleft(\left|xright|+1} – \pi y$$$$$pi y = e^nx + \lnคleft(\left|xright|+1} – y$$$$pi y = e^nx + \lnคleft(\left|xright|+1} – e^nx、y=1,000、y$$$$$py) y$$$y = \frac{e^nx + \lnleft(\left|xcopyright|+1copyright) – y}{pi}$$
最後から2行目は$k=n+1$を代入して実現したものです。 ここでのコツは、異なる時間での出力に関係があることです。 しかし、一度計算すると、どの出力も将来の入力の値には依存しないことになります。 非線形性と時変は、より楽しく、より挑戦的にするために入れました。
このように因果関係はあらゆる種類のシステムの特性であり、さらに多くの楽しくて奇妙な例を思いつくことができるのです。 その鍵は、因果性と線形性（そしておそらく時間不変性も）の定義が少し絡み合って混乱していることに気づくことにあります。 パラドックスを面白く解決するには、両方の定義に線形という言葉を加えるだけでよいのです（時間不変性も微妙な役割を果たすでしょう）。 以下はその方法です。
定義 1: 線形システムは、出力 $y$ が $k \ge0$ となる入力 $x$ の線形結合の関数である場合にのみ因果関係がある。
これは、すべてのシステムが入力の線形結合であるとは限らないからである。 線形システムは 因果系は過去と現在の入力にのみ依存するので、因果的線形系は現在と過去の入力の線形結合である。 実は、定義を正確に言うと、線形システムは入力と出力の両方の線形結合であり、因果的線形システムでは時間$n$における出力は時間$m \gt n$における入力に依存することはできないのです。
また、
定義2：線形時不変システムは、すべての$n<0$に対してインパルス応答$h=0$のときだけ、因果性がある。
これも極めて直観的である。 k \ge 0$ のときの $h$ のエントリはすべて、現在と過去の $x$ の値をかけて現在の出力を得るための係数です（この場合、システムが再帰的であるかどうかは関係ありません）。 この定義が意味を持つのは、線形時不変システムだけであることに注意してください! これは、畳み込みがそのような場合にのみ存在するからである。 では、なぜ線形性が必要なのか見てみましょう。 h \ne 0$ ならば、$x$ が $y$ に寄与していることになり、それが非因果的となるのです。 これは、線形系では、何も入らなければ何も出ないからです。
また、完全なLTIでない限り、インパルス応答で完全に定義できないので、系は時不変である必要があります。 インパルス関数$delta $をシステム$$y = x + (n+1)x,$$ に通すと、インパルスそのものである出力が得られます（因果関係がある…よね）。 しかし、この系は明らかに非因果的である。 だから時分割が重要なのです。
さて、話は変わりますが、あなたのシステムは完全に因果的ですが、あなたの定義は線形システムにしか適用されず、あなたのシステムは非線形のものです。 因果系の正しい定義は、どんな出力$y$も$k \gt 0$の入力$x$には依存できない、というものです
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