Modelli e strategie per l’addizione e la sottrazione a due cifre

La seconda classe è un anno molto importante in cui gli studenti sviluppano scioltezza con l’addizione e la sottrazione a due cifre. E’ l’anno in cui lavoriamo su una moltitudine di strategie di addizione e sottrazione che gli studenti possono usare per risolvere i problemi. Passiamo molto tempo a discutere una varietà di strategie, usando molti modelli diversi e facendo matematica mentale.

Perché? Per sviluppare la flessibilità degli studenti quando si risolvono i problemi di matematica.

Il Common Core Standard per l’addizione di due cifre &la sottrazione è:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.5
Fluentemente aggiungere e sottrarre entro 100 usando strategie basate sul valore di luogo, le proprietà delle operazioni, e/o la relazione tra addizione e sottrazione.

E, lo standard per l’addizione e la sottrazione a tre cifre, per mostrare dove siamo diretti:

CCSS.MATH.CONTENT.2.NBT.B.7
Aggiungi e sottrai entro il 1000, usando modelli concreti o disegni e strategie basate sul valore del luogo, le proprietà delle operazioni, e/o la relazione tra addizione e sottrazione; metti in relazione la strategia con un metodo scritto. Capire che nell’aggiungere o sottrarre numeri di tre cifre, si aggiungono o sottraggono centinaia e centinaia, decine e decine, uno e uno; e a volte è necessario comporre o decomporre decine o centinaia.

Nessuno di questi due standard dice nulla sull’algoritmo standard che tutti abbiamo imparato a scuola (molto probabilmente con il linguaggio di “carry” e “borrow”), né l’algoritmo standard è direttamente affrontato nei Second Grade Common Core Standards. Leggi fino alla fine per scoprire come affronto l’algoritmo standard nella nostra classe.

Sei interessato a un campione gratuito di alcuni dei miei prodotti per l’addizione e la sottrazione a due cifre?

Strategie vs. Modelli

Se hai familiarità con i miei problemi di addizione & sottrazione, potresti aver notato che faccio una grande distinzione tra le strategie usate quando risolvo i problemi e i modelli che gli studenti usano con quelle strategie.

Le strategie sono di solito come gli studenti si avvicinano e manipolano i numeri. I modelli sono come le strategie sono organizzate sulla carta in modo che gli studenti possano spiegare o vedere la strategia.

Guardando gli standard sopra, posso vedere che le strategie sono chiaramente indicate nello standard:

In 2.NBT.B.5 e le strategie sono:

• valore del luogo
• proprietà delle operazioni
• relazione tra addizione e sottrazione

Standard 2.NBT.B.7 nota anche che i modelli o disegni (che io chiamo anche modelli) sono separati dalle strategie che si basano su:

• valore del luogo
• proprietà delle operazioni
• relazione tra addizione e sottrazione

Come potete vedere, le strategie sono chiaramente delineate negli standard. Ora, all’interno di ciascuna delle categorie di strategie generali di cui sopra, ci sono davvero molte strategie diverse che gli studenti possono usare e potete etichettarle come preferite nella vostra classe. Mi piace etichettarle con i nomi degli studenti come facile riferimento. In questo modo, possiamo fare riferimento alla strategia di Samantha quando risolviamo un problema. Oppure si può etichettare la strategia con l’azione che lo studente fa nel problema (per esempio: Aggiungi prima le decine).

Tuttavia, faccio ancora una distinzione tra la strategia e il modello. Perché? Perché gli studenti possono usare più strategie con un modello. Non c’è un solo modo giusto di usare il modello, purché lo studente possa spiegare il suo pensiero. I modelli (o disegni) danno semplicemente agli studenti uno strumento per spiegare il loro pensiero sulla carta o con i manipolatori. Il pensiero, o ciò che gli studenti fanno con i numeri, è la strategia. Quello che usano per mostrarvela è il modello.

In tutta onestà, non sono sempre coerente nell’etichettare qualcosa come strategia o modello. Cerco di esserlo, ma come te, sono umano e a volte li confondo, specialmente quando sono nel momento con gli studenti. È un processo di apprendimento e qualcosa su cui rifletto continuamente nel corso degli anni. Tutto questo per dire che potreste vedere alcune cose etichettate in un modo e mettere in dubbio la loro etichetta. Andate avanti e mettetela in dubbio, pensateci, rimuginate e capite se è accurata o no. Tutto questo è ancora nuovo per molti di noi.

Qui ci sono alcune tabelle di ancoraggio che ho usato negli ultimi due anni che illustrano alcuni dei modelli e delle strategie seguenti.

Modelli per l’addizione a due cifre

Di seguito ci sono alcuni modelli che usiamo per l’addizione o la sottrazione a due cifre. Sono gli unici modelli che si possono usare? No, questa non è una lista esaustiva. Sono quelli che ho trovato utili in classe perché gli studenti facciano pratica e li usino per costruire la comprensione concettuale e il senso dei numeri.

Linee numeriche per l’addizione e la sottrazione a due cifre

Di solito inizio con le linee numeriche quando introduco gli studenti ai modelli carta/matita. Una linea numerica aperta è molto flessibile. Gli studenti possono fare salti di uno o dieci (o più) e manipolarla facilmente per mostrare il loro pensiero matematico.

Di solito aiuto gli studenti ad arrivare al 10 più vicino, o al numero amichevole o di riferimento quando uso una linea numerica perché è più facile fare salti di 10. Questo è un esempio della differenza tra un modello e una strategia. Il modello è la linea dei numeri. La strategia è fare salti di 10.

Insegnare come usare le linee numeriche quando si usa 10 per aggiungere fatti +9 e +8, solidifica questa strategia quando gli studenti stanno aggiungendo numeri più grandi di due cifre.

Ricorda, la linea numerica è il modello e può essere usata con una varietà di strategie. Fare da modello e praticare l’uso di una linea numerica con problemi più facili aiuterà gli studenti quando useranno una linea numerica con problemi più difficili.

Una delle attività quotidiane che facciamo con le linee numeriche è il nostro Daily Math. Questo è un foglio della lavagna che facciamo ogni giorno. La linea dei numeri in basso aiuta gli studenti a solidificare la loro comprensione sia di come usare una linea dei numeri sia di come “fare 100 o fare 1000”.

Qui ci sono alcuni altri esempi di come usiamo le linee numeriche in classe.

Questo è dal mio Roll & Spin Math Stations. In questa attività, gli studenti si esercitano a fare salti di 10 e 100 su una linea numerica.

Ci sono anche versioni in cui gli studenti sottraggono 10 e 100 lungo una linea di numeri. Una delle abilità di cui gli studenti hanno bisogno per avere successo sulle linee numeriche è la capacità di fare salti di 10 e 100.

Questo è un esempio di uno dei nostri problemi di addizione &di sottrazione in cui gli studenti dovevano risolvere un problema separato di inizio sconosciuto. Questo studente è partito da 15 e ha contato 35 salti per poi toglierne uno alla fine. Questo è anche un grande esempio di compensazione (vedi sotto) perché lo studente ha aggiunto uno al 34 per fare salti più facili e poi l’ha tolto alla fine.

Questo è dal mio secondo grado Taglia &Incolla attività di matematica. In questa attività, gli studenti si esercitano a sommare, iniziando dal numero più piccolo e capendo chi tot arriva al numero più grande saltando ai numeri amici. Questo studente ha iniziato a 19, ha saltato a 20, poi ha fatto salti di 10 a 60 e ha fatto un salto di 3. Lo studente ha aggiunto i loro salti insieme per ottenere 44.

Questi sono alcuni esempi delle mie Stazioni di matematica per l’addizione a due cifre. I miei studenti avevano bisogno di più pratica diretta con le linee di numeri e di fare salti, nonostante tutta la nostra pratica di gruppo. Così, ho dato loro le indicazioni e gli studenti le hanno seguite sulle linee numeriche.

Una risorsa più recente che ho sviluppato per aiutare gli studenti a sviluppare la fluidità dei numeri è la risorsa Fai 100 e Fai 1000. Questa risorsa ha MOLTE attività in cui gli studenti si esercitano a fare 100 e a fare 1000. Le linee dei numeri sono una delle attività.

Ho anche un intero post sul blog su come usare una linea dei numeri con ancora più esempi di come sviluppare la fluidità della linea dei numeri in classe.

Base-10 Blocchi

I blocchi di base-10 sono un altro modello che insegno agli studenti ad usare; tuttavia, generalmente insegno agli studenti a disegnare i blocchi di base-10. Usiamo veri blocchi di gommapiuma in classe, ma cerco di allontanarmi da essi il più rapidamente possibile.

Perché? Gli studenti avranno sempre carta e matita per risolvere i problemi, ma non sempre avranno a disposizione dei manipolatori. Usare i blocchi di base 10 richiede anche molto tempo. Non mi dispiace spendere il tempo su di loro, per gli studenti che ne hanno bisogno, ma voglio anche spingere gli studenti verso strumenti più efficienti.

Qui ci sono alcuni esempi di come usiamo i blocchi di base-10:

Questi due stanno usando i blocchi in base 10 disegnando le decine come “sticks”, come li chiamiamo nella nostra classe. Questi studenti in particolare avevano difficoltà a contare oltre il 100 per decine, così ho fatto loro disegnare ogni numero in decine, poi contare per decine fino a 100, poi ricominciare a contare di nuovo per decine. Questo non solo li ha aiutati a sommare i numeri oltre il 100, ma ha anche dato loro più spesa con il nostro sistema numerico in base 10.

L’esempio qui sopra è tratto dalle mie Stazioni Matematiche per l’Addizione a due cifre ed è solo un problema di base – corrispondenza delle risposte con rappresentazioni in blocchi di base-10.

Il post del blog Number Line ha anche un’interessante attività visiva per aiutare gli studenti a passare dai blocchi di base-10 alle linee numeriche.

Strategie per l’addizione a due cifre

Come notato sopra, le tre strategie principali indicate negli standard sono:

• valore del luogo
• proprietà delle operazioni
• relazione tra addizione e sottrazione

Di seguito ci sono alcune strategie che usiamo per risolvere problemi di addizione a due cifre. La maggior parte di esse sono basate sulle strategie del valore di luogo, poiché trovo che queste tendono ad essere più facili da capire e da applicare per gli studenti. Anche in questo caso, si tratta di come gli studenti manipolano i numeri nel problema per renderlo più facile da risolvere.

Nessuna strategia è la strategia “giusta” per ogni studente per ogni problema. Alcuni problemi si prestano a certe strategie a causa dei numeri. Gli studenti possono anche passare da una strategia all’altra all’interno dello stesso problema, a seconda di come stanno manipolando i numeri. La cosa chiave da cercare è se lo studente può spiegare il suo pensiero quando risolve un problema.

Smembra o scompone (Place Value)

Questa strategia richiede un po’ più di pratica matematica mentale, ma può essere così potente. L’idea di base è che il numero viene scomposto in decine e uno e poi, usando una linea di numeri, blocchi di base 10 o solo numeri, gli studenti manipolano i pezzi per aggiungere o sottrarre i numeri.

Scomporre il numero o scomporlo aiuta gli studenti a vedere il valore del valore di luogo. Il posto delle decine non è solo 4. Il suo valore è 40 o 4 decine.

Una risorsa che aiuta a sviluppare questa strategia è il libro Number Talks (link affiliato). Facciamo discorsi sui numeri durante l’anno, iniziando con i fatti di addizione e passando all’addizione e alla sottrazione di due cifre entro la fine dell’anno. Mi piace vedere le strategie che i miei studenti riescono a trovare! Il libro Number Talk è anche un ottimo libro che aiuta a sviluppare le capacità di ascolto.

Pensa al problema 64-47. Gli studenti scompongono il problema in 50+14-7-40 e tolgono le parti in base al valore di luogo. Probabilmente inizierei con il 14-7, ma gli studenti potrebbero iniziare ovunque abbia senso per loro.

Gli esempi di cui sopra provengono dalle mie Stazioni di matematica per l’addizione a due cifre e illustrano come gli studenti possono scomporre i numeri e sommare ogni valore di luogo. La scomposizione si chiama anche disaggregazione o scomposizione, a seconda del programma di matematica che usi.

Hai notato che in uno dei problemi sopra, lo studente ha aggiunto 60 +40 e ha ottenuto 106, ma ha scritto la risposta corretta al problema? Cosa pensi che stesse succedendo a questo studente? Pensi che non sia riuscito a sommare 60+40, che abbia fatto un errore stupido o che ci sia un’altra ragione per cui ha scritto 106? Vedere gli studenti interagire con questi tipi di strategie vi darà un luogo iniziare conversazioni con loro circa il loro pensiero matematico.

Un altro esempio da alcune Addition Task Cards dove gli studenti separano solo il secondo numero e poi fanno salti di 10 e 1 usando le tabelle 100s e 1000s. Anche se diamo un sacco di pratica usando un grafico di 100 in prima elementare, trovo che gli studenti non necessariamente trasferiscono il loro apprendimento a numeri più grandi in seconda elementare.

Aggiungi decine a decine e uno a uno (valore di luogo)

Questo è molto simile alle strategie di scomposizione delle parti, ma senza scomporre i numeri. Gli studenti possono sommare mentalmente le parti del numero (le decine o gli uno) perché conoscono i fatti dell’addizione. Usiamo fondamentalmente un modello a V per disegnare le linee che collegano le decine e aggiungere o sottrarre quelle parti.

Qui c’è un esempio di come l’abbiamo usato in classe:

Subtract Tens, Subtract Ones (Place Value)

Similmente all’aggiunta di decine a decine e di uno a uno, gli studenti sottraggono ogni valore di luogo separatamente e poi sottraggono gli uno dalle decine (o li aggiungono). Ci sono fondamentalmente due modi per usare questa strategia. Gli studenti possono decomporre una decina o possono usare i numeri negativi.

Un modo in cui uso questa strategia con gli studenti è con i numeri negativi. So che non insegniamo i numeri negativi in seconda elementare, ma per alcuni studenti, questo è davvero un modo che capiscono e possono tenere più delle altre strategie. Potete vedere esempi di questo nella seconda e terza tabella di ancoraggio sopra.

Pensate a 64-47. Se sottraggo 4-7, ottengo -3. Dico agli studenti che il numero più grande ha il segno meno davanti e quindi ha ancora più cose da togliere. Gli studenti poi sottraggono 60-40, ottengono 20 e sottraggono ancora per ottenere 17.

Count Down / Think Addition (Count Up) / Add Up (Relationship between Addition & Subtraction or Place Value)

Non sono esattamente sicuro se questa strategia riguarda la relazione tra addizione e sottrazione o il valore del luogo. La strategia Think Addition è simile (se non la stessa) a Count Up o Add Up. Questa strategia è anche molto simile alla Strategia della scomposizione, in quanto gli studenti hanno bisogno di scomporre almeno uno dei numeri per suonare in alto o in basso secondo le parti del numero.

Anche se gli studenti possono contare per uno, ti incoraggio vivamente ad aiutarli a muoversi verso strategie più efficienti e contare per decine e poi per uno. Usando una tabella delle centinaia gli studenti si esercitano a muoversi per 10 su e giù per la tabella. Un grafico delle centinaia è una specie di linea numerica compressa. Vedi la foto sopra con le tabelle delle 100 e delle 1000.

Qui ci sono alcuni esempi di conteggio verso l’alto:

I due esempi di cui sopra sono solo quelli che abbiamo fatto alla lavagna e che ho fatto scrivere agli studenti nei loro quaderni.

Questa è una pagina dei miei Two-Digit Subtraction Flap Books. Questi Flap Books passano attraverso diversi modelli e strategie e danno agli studenti pratica con il vocabolario e spiegando il loro pensiero.

La cosa che amo di questi flap books è che gli studenti possono immergersi in profondità in un aspetto della sottrazione a due cifre e collegare il linguaggio ai numeri e ai processi che usano.

Use Compensation (Properties of Operations)

Questa ultima strategia è diversa dalle precedenti. In pratica devi assicurarti che i numeri siano bilanciati all’interno del problema e che stai tenendo conto di tutte le parti. È un precursore dell’algebra e una grande strategia per la matematica mentale.

Ci sono un paio di modi diversi di usare la compensazione, ma l’idea di base è che si aggiunge o si sottrae una parte di un numero e la si aggiunge all’altro numero per creare un numero amico. Devi tenere traccia di ciò che è stato aggiunto o tolto e tenerne conto in qualche modo nel problema.

La compensazione è particolarmente utile per i numeri che sono vicini ai numeri amici, anche se può essere usata per qualsiasi numero. Per esempio, 68 – 39 potrebbe essere trasformato in 69 – 40. Ho aggiunto uno ad ogni numero. Il valore di un +1 e -1 è 0, quindi non ho cambiato affatto il problema.

Ecco un altro esempio: 53 + 38. Potrei aggiungere 53 + 40 e ottenere 93, ma poiché ho aggiunto due al 38 per arrivare a 40, dovrò sottrarre due da 93 per ottenere 91.

L’idea di base con la compensazione è che stai aggiustando una parte del numero in un numero amico per renderlo più facile da aggiungere o sottrarre. Tuttavia, quando aggiusti un numero, devi tenere traccia di ciò che hai aggiustato e compensarlo.

Cosa devono sapere gli studenti prima di usare queste strategie?

Le strategie di cui sopra sono molto potenti se gli studenti possono aggiungerle al loro kit di strumenti quando si avvicinano all’addizione e alla sottrazione di due cifre. Tuttavia, per usare efficacemente le strategie di cui sopra, gli studenti hanno bisogno di alcune cose al loro posto.

Fatti di addizione e sottrazione – Gli studenti hanno bisogno di una buona fluidità con i loro fatti di addizione e sottrazione. Hanno bisogno di averli memorizzati tutti con velocità? No. Tuttavia, se gli studenti passano troppo tempo a cercare di capire un fatto di addizione e questo impedisce loro di concentrarsi sulla strategia perché dimenticano quello che stavano facendo, allora hanno bisogno di più fluidità con i loro fatti di addizione e sottrazione. Le mie valutazioni di automaticità aiutano gli studenti a praticare i loro fatti per strategia.

Capacità di trovare numeri amici – All’inizio dell’anno, passiamo molto tempo a sviluppare la fluidità con il 10 come numero di riferimento. Anche se lo facciamo all’inizio dell’anno per aiutare la nostra scioltezza con i fatti matematici, è anche utile quando gli studenti iniziano il loro viaggio con l’aggiunta e la sottrazione di numeri a due cifre. Gli studenti hanno bisogno di sapere come arrivare al prossimo numero amichevole, che è essenzialmente i loro fatti 10s ma applicandoli ai numeri a due cifre per trovare il prossimo dieci.

Addizione di 10 a un numero – Iniziamo la nostra unità di addizione a due cifre con un sacco di pratica aggiungendo e sottraendo dieci da un numero. Questa è un’abilità fondamentale sia nei miei prodotti di addizione a due cifre che in quelli di sottrazione a due cifre. Gli studenti devono vedere lo schema dell’aggiunta di 10 a un numero.

Valore di luogo – Per fare l’addizione a due cifre, gli studenti hanno bisogno di una forte base nel concetto di uno e dieci e cosa significa spezzare un numero in uno e dieci. Dal primo giorno di scuola, stiamo facendo esercizi quotidiani di matematica che costruiscono la fluidità con il valore di luogo così come saltare il conteggio di 10 da qualsiasi numero.

Insegno l’algoritmo tradizionale?

Sì e no. Sì, insegno il concetto di raggruppamento e sì, insegno agli studenti a muoversi verso l’efficienza quando aggiungono e sottraggono. Questo potrebbe includere l’algoritmo tradizionale se riescono a capire il significato che c’è dietro.

Gli studenti non hanno bisogno di usare l’algoritmo standard fino alla quarta classe (secondo i Common Core Standards). Possono farlo prima? Forse.

Lo espongo in seconda elementare come un modello che potrebbero usare; tuttavia, non passiamo molto tempo concentrato su di esso, perché voglio che gli studenti sviluppino strategie per risolvere i problemi, non essere legati ad un modello.

Quando lavoriamo con l’algoritmo tradizionale, gli attribuiamo molto linguaggio e significato, generalmente legandolo al lavoro che abbiamo già fatto, come il nostro lavoro con i blocchi in base 10. Ecco alcuni esempi di Insegno agli studenti l’algoritmo tradizionale collegandolo a modelli che abbiamo già usato e dando agli studenti un linguaggio accurato da usare per spiegare il loro pensiero.

Qui ci sono alcuni esempi di come do agli studenti esperienza con l’algoritmo tradizionale.

Hai notato che dovrebbe dire 7 decine e 11 uno? Lo studente non ha prestato attenzione ai blocchi in base 10!

Vengono dal mio pacchetto Decompose a Ten, che bilancia il lavoro dell’algoritmo tradizionale con modelli in base 10 e dà agli studenti il linguaggio della scomposizione dei numeri.

Whew – sono un sacco di informazioni da digerire! Ci sono molti modelli e strategie diverse che uno studente può usare per risolvere problemi di addizione e sottrazione a due cifre. Quelle che ho delineato sopra sono alcune che ho trovato particolarmente utili per gli studenti. Aiutano gli studenti a sviluppare una solida base con l’addizione e la sottrazione a due cifre, creano un ponte verso l’addizione e la sottrazione a tre cifre e sottolineano l’idea di usare strategie e modelli per risolvere i problemi, non solo di seguire i passi di un processo.

Se insegni in seconda elementare, ti potrebbero piacere alcune pagine di alcuni dei miei prodotti sull’addizione e la sottrazione a due cifre. Ho compilato questo PDF di risorse come un campionario di diversi prodotti che enfatizzano davvero tutto il lavoro che facciamo nella nostra classe per sviluppare queste strategie in profondità.

I diversi componenti del campionario possono essere utilizzati in gruppo o in piccoli gruppi e sono perfetti per aiutare i vostri studenti a pensare fuori dagli schemi quando si tratta di risolvere l’addizione e la sottrazione a più cifre.

Two-Digit Resources Mentioned Above

Qui c’è una lista con i link di tutte le risorse di addizione e sottrazione a due cifre menzionate sopra. Possono essere acquistati sul mio sito web o su Teachers Pay Teachers.

• Roll and Spin Math Stations
• Cut and Paste Math Activities for Second Grade (TpT)
• Two-Digit Addition Math Centers (TpT)
• Two-Digit Subtraction Math Centers (TpT)
• Addition Task Cards Using 100s Charts (TpT)
• Two-Subtraction Flap Books (TpT)
• Decompose a Ten Task Cards (TpT)

Molti di questi sono anche inclusi in Two-Digit Addition and Subtraction BUNDLE (TpT).