Continuando sul tema dei triangoli 15-75-90 (Vedi: Last time e First Time) diversi riff interessanti su 15-75-90’s in a box sono venuti fuori recentemente.
Esempio dividendo un quadrato con quattro triangoli 15-75-90:
Come spesso accade, trovare l’area relativa dei triangoli e del quadrato è semplice usando la trigonometria:
Siamo la lunghezza dei lati del quadrato:
L’area di ogni triangolo = \frac{1}{2} s^2 cos(15)sin(15) \) e usando le formule del doppio angolo
(sin(30)=2sin(15)cos(15)\) quindi dopo la sostituzione e sapendo che sin(30) = \(\frac{1}{2}) salta fuori l’area = \(\frac{1}{8}s^2\)
Ma perché succede questo? Come al solito un triangolo 30-60-90 è di solito in agguato che permette una spiegazione euclidea.
Quello che è particolarmente interessante in questo è che suggerisce che esistono dissezioni per trasformare un 1/4 o 1/8 del quadrato più grande nei triangoli e sicuramente si fa scorrere il triangolo 1/4 ABO fino a diventare 2 15-75-90′!
Ma torniamo al problema originale. C’è un’altra facile spiegazione di ciò che sta accadendo che usa solo i rapporti del triangolo:
1. Si noti che l’area di questo triangolo è \(\frac{1}{2}(2 – \sqrt{3})\)
2. Squadrando l’ipotenusa si ottiene \(4(2 – \sqrt{3})\) che è 8 volte l’area del triangolo.
3. O in altre parole ogni triangolo è 1/8 del quadrato fatto sull’ipotenusa.
E abbiamo ritrovato il nostro risultato originale.
Altre domande: Ci sono altri triangoli comuni che dividono il quadrato in una frazione unitaria o “semplice”.
Lascio al lettore decidere quale problema basato su questa proprietà è più divertente (da @eylem e @sansu-seijin):
Dato il quadrato di lunghezza 6cm, quanto è grande la regione ombreggiata?