Parte 1: Cos’è il Pairs Trading?
Parte 2: Una panoramica del Pairs Trading
Parte 3: Conclusione
1- Cos’è il Pairs Trading
Come introduzione al nostro attuale argomento, suggerisco vivamente di leggere un altro articolo che ho scritto sul concetto di arbitraggio.
Detto questo, posso introdurre formalmente la definizione di arbitraggio come segue:
Un arbitraggio (portafoglio) è quello in cui non si paga nulla per entrarvi, e si ottiene un certo profitto positivo senza rischio.
Ci sono alcuni casi nel mercato in cui si presentano opportunità di arbitraggio. Quella che considereremo sarà un’istanza interstock. Essenzialmente, questo significa che sfrutteremo una proprietà statistica tra due azioni diverse sulla stessa borsa.
Ora,
1.1 Cos’è il pairs trading?
Il pairs trading è una strategia che consiste di due componenti: A) Identificare una coppia di azioni che si muovono in modo simile e possiedono proprietà di mean-reverting & B) Vendere l’azione ad alto prezzo e comprare l’azione a basso prezzo.
Il trucco, naturalmente, è essere in grado di identificare la coppia (A) e poi trovare un’appropriata strategia predefinita di entrata e uscita (B).
Si caratterizza come una strategia market-neutral che appartiene alla famiglia dei metodi di arbitraggio statistico. Per market-neutral intendiamo che questa strategia non è influenzata dalle tendenze dei prezzi (verso l’alto o verso il basso) – questo è un risultato della copertura di ogni costituente della coppia.
Ci sono tre approcci primari al pairs trading:
- Approccio a distanza
- Approccio stocastico
- Approccio di cointegrazione
Quello su cui ci concentreremo è l’approccio di cointegrazione.
1.2 Quanto spesso si verifica questa istanza/opportunità di arbitraggio?
Non molto spesso. Per capire meglio perché non è frequente, dovremmo capire perché si verificano in primo luogo. Prima di tutto, le opportunità di arbitraggio si verificano a causa di un’inefficienza nel mercato – che è un fenomeno di non-equilibrio.
La causa di questa inefficienza può essere qualsiasi cosa, da una serie di errori come un ritardo nella trasmissione delle informazioni. Agli albori di questa forma di civiltà moderna tecno-industriale (MTI), i ritardi sono molto minimi, quindi i rari casi di opportunità sono solo transitori ed esistono minimamente e per brevi periodi di tempo.
2- Una panoramica del Pairs Trading
In questa parte, costruiremo una conoscenza pratica di: serie temporali, stazionarietà, cointegrazione, regressione e residui, e test delle radici unitarie.
Poi applicheremo queste conoscenze in: costruzione del portafoglio, formazione di una strategia di trading conservativa, e poi backtesting.
2.1 Serie temporali
Una serie temporale è un insieme di punti dati disposti cronologicamente secondo il loro tempo di accadimento. Il tempo può essere misurato in secondi, minuti, ore, giorni, mesi o anni.
Supponiamo che ci sia una serie temporale arbitraria Y:
Y={Yt:t∈T} ; dove T è l’insieme dei numeri naturali
essenzialmente,
t: t₁, t₂, …, tn
Yt: Yt₁, Yt₂, …, Ytn
Un esempio di serie temporale sarebbe il prezzo di un’azione nel tempo in giorni o la popolazione nel tempo in anni.
Alcune caratteristiche importanti delle serie temporali
- Trend: è verso l’alto o verso il basso?
- Stagionalità: ci sono modelli che si ripetono regolarmente?
- Movimenti casuali: c’è una natura apparentemente irregolare?
- Stazionarietà: le proprietà statistiche non cambiano nel tempo?
La caratterizzazione delle serie temporali ci permette la libertà di creare o usare modelli che potrebbero portarci a realizzare informazioni importanti. Per il pairs trading, esploreremo una delle caratteristiche che è la stazionarietà.
2.2 Stazionarietà
In termini semplici, la stazionarietà è quando la media e la varianza di una serie temporale sono costanti e la covarianza è indipendente dal tempo. Visivamente, una serie temporale stazionaria appare piatta, senza trend patologico e senza stagionalità. È anche inversione di media.
Se una serie temporale è stazionaria, allora ha una integrazione di ordine zero I(0).
Non possiamo dedurre se una serie temporale è stazionaria basandoci sulla visualizzazione. Dobbiamo fare uso di un quadro di metodi statistici per dedurre se è effettivamente stazionaria.
Ci sono tre condizioni che devono essere soddisfatte affinché una serie temporale arbitraria Yt sia definita stazionaria:
- E è costante per tutti i t (questo implica l’inversione della media)
- Var è costante per tutti i t
- Covar è costante per tutti i t
Se una coppia di azioni può essere identificata con un alto livello di fiducia di essere stazionaria, allora possiamo usare con successo quella coppia nella nostra strategia di pairs trading.
Cos’è un modello autoregressivo (AR)?
È una rappresentazione di un tipo di processo casuale. Nel nostro caso sarà una passeggiata casuale, che sarà un’approssimazione di discretizzazione del moto browniano (che è usato per modellare i prezzi delle azioni). Essa specifica che la variabile di uscita dipende linearmente dai suoi valori precedenti e da una variabile casuale – quindi è sotto forma di un’equazione stocastica della differenza.
Questa è rappresentata in questo modo,
Yt=ρYt-₁+Ɛt ; dove Ɛt è una variabile casuale indipendente normalmente distribuita.
E’ imperativo notare che siccome l’equazione di cui sopra è un modello AR di ordine uno, considereremo quindi un ritardo (L) di uno.
Ci sono due esempi importanti di serie temporali stazionarie e le loro rispettive proprietà:
- Non dipende dal tempo
- White noise
2.3 Cointegrazione
Ricorda,
Se una serie temporale è stazionaria, allora ha un’integrazione di ordine zero I(0).
Bene, allora ci baseremo su questo.
Supponiamo di avere una coppia di azioni che vorremmo identificare come una coppia o meno (ai fini del pairs trading).
Lasciamo che la serie temporale Xt sia lo stock A e Yt sia lo stock B. Entrambe queste serie temporali sono modelli AR;
Xt=ρXt-₁+Ɛt e Yt=ρYt-₁+Ɛt ; supponiamo che Ɛt sia lo stesso per entrambe le serie.
Quindi se dovessimo combinare queste serie in un rapporto specifico, otterremmo una nuova serie μt costituita solo dalle componenti non casuali dei modelli AR.
Ora supponiamo, in un caso più generale, che queste due serie temporali siano entrambe integrate di ordine uno (I(1)) e quindi siano fin dall’inizio non stazionarie. Inoltre supponiamo che siano anche modelli AR (di ordine 1) dove la componente casuale è annullata (a causa della condivisione di tendenze stocastiche comuni (Ɛt)) – c’è quindi la possibilità che una combinazione lineare delle serie produca una serie I(0) stazionaria. Questo è ciò che è la cointegrazione.
Che differenza c’è tra cointegrazione e correlazione?
Mentre sia la cointegrazione che la correlazione possono misurare i prezzi delle attività che si muovono insieme e quindi stabilire una relazione, la correlazione si rompe sul lungo termine ma è piuttosto robusta nell’identificare relazioni a breve termine. Nel frattempo, la cointegrazione si adatta molto meglio alle strategie di trading a medio e lungo termine. Inoltre le correlazioni sono per lo più utilizzate per specificare il co-movimento del rendimento mentre la cointegrazione specifica quello del prezzo.
Ricordate questo?
… sfrutteremo una proprietà statistica tra due diversi titoli della stessa borsa.
Quella proprietà statistica a cui ci riferivamo era la stazionarietà tramite l’approccio di cointegrazione.
Approccio di cointegrazione per trovare coppie
L’idea principale è che abbiamo due serie temporali che non sono stazionarie ma che diventano stazionarie per differenziazione (I(1)). Queste serie temporali sono chiamate integrate (di ordine uno). Ci sono serie temporali integrate (di ordine uno) tali che esiste una combinazione lineare di esse che diventa stazionaria (I(0)) (come si vede nella figura 2.3.1).
Possiamo dividere questo processo in tre fasi principali:
- utilizzare l’analisi di regressione per far regredire i logaritmi naturali dei prezzi di entrambi i titoli tra loro – trovare il coefficiente di cointegrazione
- computare i residui della regressione
- testare statisticamente se i residui sono stazionari usando il test di Dickey-Fuller (DF)
Nei grafici seguenti abbiamo preso il prezzo storico del titolo Citigroup Inc. dal 20/07/18 al 20/07/19 (frequenza giornaliera). Usando Matlab, abbiamo generato i seguenti grafici: