Relazioni tra grandezze lineari e rotazionali
La descrizione del moto potrebbe essere talvolta più semplice con grandezze angolari come la velocità angolare, l’inerzia rotazionale, la coppia, ecc.
Obiettivi di apprendimento
Derivare il moto circolare uniforme dalle equazioni lineari
Punti chiave
Punti chiave
- Come usiamo la massa, momento lineare, energia cinetica traslazionale e la seconda legge di Newton per descrivere il moto lineare, possiamo descrivere un moto rotatorio generale usando le corrispondenti quantità scalari/vettoriali/tensori.
- La velocità angolare e quella lineare hanno la seguente relazione:
- Come usiamo l’equazione del moto \F} = \testo{ma} per descrivere un moto lineare, possiamo usare la sua controparte \bf{\tau} = \frac{\testo{d} \bfrac{\testo{L}}{{\testo{dt} = \bf{\testo{r}} \per descrivere il moto angolare. Le descrizioni sono equivalenti, e la scelta può essere fatta solo per comodità d’uso.
Termini chiave
- moto circolare uniforme: Movimento intorno a un percorso circolare con velocità costante.
- coppia: Un effetto di rotazione o torsione di una forza; (unità SI newton-metro o Nm; unità imperiale foot-pound o ft-lb)
- inerzia rotazionale: La tendenza di un oggetto rotante a rimanere in rotazione a meno che non gli venga applicata una coppia.
Definizione del moto circolare
La descrizione del moto circolare è descritta meglio in termini di quantità angolare che nella sua controparte lineare. Le ragioni sono facili da capire. Per esempio, consideriamo il caso del moto circolare uniforme. Qui, la velocità della particella cambia – anche se il moto è “uniforme”. I due concetti non vanno insieme. La connotazione generale del termine “uniforme” indica “costante”, ma la velocità in realtà cambia continuamente.
Un corpo rotante: Ogni particella che costituisce il corpo esegue un moto circolare uniforme intorno all’asse fisso. Per la descrizione del moto, le quantità angolari sono la scelta migliore.
Quando si descrive il moto circolare uniforme in termini di velocità angolare, non c’è contraddizione. La velocità (cioè la velocità angolare) è infatti costante. Questo è il primo vantaggio di descrivere il moto circolare uniforme in termini di velocità angolare.
Secondo vantaggio è che la velocità angolare trasmette il senso fisico della rotazione della particella rispetto alla velocità lineare, che indica il moto traslazionale. In alternativa, la descrizione angolare sottolinea la distinzione tra due tipi di moto (traslazionale e rotazionale).
Relazioni tra velocità lineare e angolare
Per semplicità, consideriamo un moto circolare uniforme. Per la lunghezza dell’arco che sottende l’angolo ” all’origine e “r” è il raggio del cerchio che contiene la posizione della particella, abbiamo \testo{s}=\testo{r}\theta .
Differenziando rispetto al tempo, abbiamo
\frac{\testo{ds}{\testo{dt}} = \frac{\testo{dr}{\testo{dt}
Siccome \frac{dr} = 0 per un moto circolare uniforme, si ottiene \testo{v} = \omega \testo{r}. Allo stesso modo, si ottiene anche \testo{a} = \alpha \testo{r} dove \testo{a} sta per accelerazione lineare, mentre \alpha si riferisce all’accelerazione angolare (In un caso più generale, la relazione tra quantità angolare e lineare è data da \bf{\testo{v} = \omega \tempi \testo{r}}, ~~ \bf{\testo{a} = \alpha \tempi \testo{r}
Equazioni cinematiche rotazionali
Con la relazione della velocità/accelerazione lineare e angolare, possiamo ricavare le seguenti quattro equazioni cinematiche rotazionali per costante \testo{a} e \alpha:
\omega =\omega 0+\alpha \t}:
Theta ===omega 0+(1/2)\alpha \testo{t}2: \testo{x}==testo{v}0{testo{t}+(1/2)\testo{at}2
omega 2=\omega 02+2:
Massa, quantità di moto, energia e seconda legge di Newton
Come abbiamo usato la massa, la quantità di moto lineare, l’energia cinetica traslazionale e la seconda legge di Newton per descrivere il moto lineare, possiamo descrivere un moto rotatorio generale usando quantità scalari/vettoriali/tensori corrispondenti:
- Massa/inerzia rotazionale:
- Momento lineare/angolare:
- Forza/coppia:
- Energia cinetica:
Per esempio, così come usiamo l’equazione del moto \F} = \testo{ma} per descrivere un moto lineare, possiamo usare la sua controparte \bf{\tau} = \frac{\testo{d}\bf{\testo{L}}{\testo{dt} = \bf{\testo{r} \per descrivere un moto angolare. Le descrizioni sono equivalenti, e la scelta può essere fatta solo per comodità d’uso.