7.6: Volume, Orientamento e Tensore di Levi-Civita

Orientamento

Come mostrato nella figura \(\PageIndex{5}), la linearità dell’area richiede che ad alcune aree siano assegnati valori negativi. Se confrontiamo le aree \(+1\) e \(-1\), vediamo che l’unica differenza è di orientamento, o di mano. Nel caso a cui abbiamo arbitrariamente assegnato l’area \(+1\), il vettore b giace in senso antiorario dal vettore a, ma quando a è flittato, l’orientamento relativo diventa orario.

Se hai avuto il solito background di fisica del primo anno, allora hai visto questo problema trattato in un modo particolare, che è quello di assumere che esista una terza dimensione, e definire l’area come il prodotto vettoriale incrociato \(a×b\), che è perpendicolare al piano abitato da \(a\) e \(b\). Il problema con questo approccio è che funziona solo in tre dimensioni. In quattro dimensioni, supponiamo che a giaccia lungo l’asse \(x), e \(b) lungo l’asse \(t). Allora se dovessimo definire \(a×b), dovrebbe essere in una direzione perpendicolare ad entrambe, ma abbiamo più di una tale direzione. Potremmo scegliere qualsiasi cosa nel piano \(y-z).

Per iniziare questo discorso in m dimensioni, dove \(m) non è necessariamente uguale a \(3), possiamo considerare il volume \(m) del parallelepipedo \(m) -dimensionale attraversato da \(m) vettori. Per esempio, supponiamo che in un tempo spaziale a 4 dimensioni i nostri vettori siano i vettori unitari che giacciono lungo i quattro assi delle coordinate di Minkowski, \(t),\x),\x),\x),\x),\x); \testo e \x); \x). Dall’esperienza con il prodotto vettoriale incrociato, che è anticommutativo, ci aspettiamo che il segno del risultato dipenda dall’ordine dei vettori, quindi prendiamoli in questo ordine. Chiaramente ci sono solo due valori ragionevoli che possiamo immaginare per questo volume: \(+1\) o \(-1\). La scelta è arbitraria, quindi facciamo una scelta arbitraria. Diciamo che è \(+1\) per questo ordine. Questo equivale a scegliere un orientamento per lo spaziotempo.

Un presupposto nascosto e non banale era che una volta fatta questa scelta in un punto dello spaziotempo, potesse essere portata in altre regioni dello spaziotempo in modo coerente. Questo non è necessariamente il caso, come suggerito nella figura \(\PageIndex{6}\).

Tuttavia, il nostro argomento al momento è la relatività speciale, e come discusso brevemente nella sezione 2.4, di solito si assume nella relatività speciale che lo spaziotempo sia topologicamente banale, così che questo problema si pone solo nella relatività generale, e solo in spazi che probabilmente non sono modelli realistici del nostro universo.

Siccome il volume \4\ è invariante sotto le rotazioni e le trasformazioni di Lorentz, la nostra scelta di un orientamento è sufficiente per fissare una definizione di volume \4\ che sia un invariante di Lorentz. Se i vettori \(a), \(b), \(c), e \(d) abbracciano un \(4\)-parallelepipedo, allora la linearità del volume è espressa dicendo che c’è un insieme di coefficienti \(\epsilon _{ijkl}\ tale che

La notazione in questo modo suggerisce di interpretarla come notazione astratta dell’indice, nel qual caso la mancanza di indici su \(V\) significa che non è solo un invariante di Lorentz ma anche uno scalare.

Il risultato dell’Esempio \(\PageIndex{2}) ci dice che sotto la nostra convenzione che il volume è uno scalare, le componenti di devono cambiare quando cambiamo le coordinate. Si potrebbe obiettare che sarebbe più logico pensare alla trasformazione in questo esempio come un cambio di unità, nel qual caso il valore di \(V\) sarebbe diverso nelle nuove unità; questa è una possibile convenzione alternativa, ma avrebbe lo svantaggio di rendere impossibile leggere le proprietà di trasformazione di un oggetto dal numero e dalla posizione dei suoi indici. Secondo la nostra convenzione, possiamo leggere le proprietà di trasformazione in questo modo. Sebbene la sezione 7.4 abbia presentato queste proprietà solo nel caso di tensori di rango \0\ e \1\, rimandando la descrizione generale dei tensori di rango superiore alla sezione 9.2, le proprietà di trasformazione di \(\epsilon\) sono, come implicito nei suoi quattro pedici, quelle di un tensore di rango \4\. Diversi autori usano diverse convenzioni per quanto riguarda la definizione di \(\epsilon\), che fu originariamente descritta dal matematico Levi-Civita.

Siccome per la nostra convenzione \(\epsilon\) è un tensore, ci riferiamo ad esso come tensore di Levi-Civita. In altre convenzioni, dove \(\epsilon\) non è un tensore, ci si può riferire ad esso come simbolo di Levi-Civita. Poiché la notazione non è standardizzata, di tanto in tanto metterò un promemoria accanto alle equazioni importanti che contengono \(\epsilon\) affermando che questo è il tensoriale \(\epsilon\).

Il tensore Levi-Civita ha un sacco di indici. Spaventoso! Immaginate la complessità di questa bestia. (Sob.) Abbiamo quattro scelte per il primo indice, quattro per il secondo, e così via, così che il numero totale di componenti è \(256\). Aspetta, non prendere il kleenex. L’esempio seguente mostra che questa complessità è illusoria.

L’esempio \(\PageIndex{3}) mostra che il fantasioso simbolo \(\epsilon _{ijkl}), che sembra un geroglifico Maya segreto che invoca \(256\) numeri diversi, in realtà codifica un solo numero di informazioni; ogni componente del tensore o è uguale a questo numero, o meno questo numero, o zero. Supponiamo di lavorare in una serie di coordinate, che potrebbero non essere Minkowski, e vogliamo trovare questo numero. Un modo complicato per trovarlo sarebbe usare la legge di trasformazione tensoriale per un tensore rank-\(4\) (sezione 9.2). Un modo molto più semplice è quello di fare uso del determinante della metrica, discusso nell’Esempio 6.2.1. Per una lista di coordinate ijkl che sono ordinate nell’ordine che definiamo essere un orientamento positivo, il risultato è semplicemente \(\epsilon _{ijkl} = \sqrt{ sinistra | det\; g \destra |}). Il segno del valore assoluto è necessario perché una metrica relativistica ha un determinante negativo.