Numerikus számítás
A numerikus számítás új módszereinek kifejlesztése válasz volt a numerikus számítás megnövekedett gyakorlati igényeire, különösen a trigonometria, a navigáció és a csillagászat területén. Az új ötletek gyorsan elterjedtek Európában, és 1630-ra a számolási gyakorlatban jelentős forradalmat eredményeztek.
A holland Simon Stevin a La Disme (1585) című rövid röpiratában bevezette Európában a tizedes törteket, és megmutatta, hogyan lehet a hindu-arab aritmetika elveit kiterjeszteni az ilyen számokkal való számolásra. Stevin hangsúlyozta a tizedes aritmetika hasznosságát “minden olyan számításhoz, amellyel az emberek ügyeiben találkozunk”, és egy függelékben elmagyarázta, hogyan lehet alkalmazni a földmérésre, a sztereometriára, a csillagászatra és a mértékmeghatározásra. Elképzelése az volt, hogy a 10-es bázisú helymeghatározási elvet kiterjeszti a törtrészeket tartalmazó számokra is, és ennek megfelelően a jelölésmódot is kiterjeszti ezekre az esetekre. Az ő rendszerében a 237,578-as számot jelölte
amelyben a nullától balra lévő számjegyek a szám egész számú részét jelentik. A nullától jobbra a tört rész számjegyei vannak, és minden számjegyet egy bekarikázott szám követ, amely azt a negatív hatványt jelzi, amelyre 10-et emeltük. Stevin megmutatta, hogyan lehet az egész számok szokásos aritmetikáját kiterjeszteni a tizedes törtekre, olyan szabályok segítségével, amelyek meghatározták a 10 negatív hatványainak elhelyezését.
A La Disme a gyakorlati hasznossága mellett azért is jelentős volt, mert aláásta a klasszikus görög geometria uralkodó stílusát az elméleti matematikában. Stevin javaslata megkövetelte az euklideszi geometriában a nagyság, amely folytonos, és a szám, amely oszthatatlan egységek sokasága, közötti különbségtétel elvetését. Eukleidész számára az egység, vagyis az egy, egy különleges dolog volt, nem a szám, hanem a szám eredete vagy elve. A tizedes törtek bevezetése úgy tűnt, hogy az egység felosztható, és tetszőleges folytonos nagyság számszerűen ábrázolható; implicit módon feltételezte az általános pozitív valós szám fogalmát.
A logaritmusok táblázatait először 1614-ben a skót John Napier földesúr publikálta a Description of the Marvelous Canon of Logarithms című értekezésében. Ezt a művet öt évvel később (posztumusz) egy másik követte, amelyben Napier ismertette a táblázatai felépítéséhez használt elveket. A logaritmusok alapgondolata az, hogy az összeadás és a kivonás könnyebben elvégezhető, mint a szorzás és az osztás, amelyek – Napier megfigyelése szerint – “fárasztó időtöltést” igényelnek, és “csúszós hibáknak” vannak kitéve. Az exponensek törvénye szerint anam = an + m; vagyis a számok szorzásánál az exponensek additív módon kapcsolódnak egymáshoz. Az a, a2, a3,… (a-t nevezzük bázisnak) és az 1, 2, 3,… számok geometriai sorozatának összefüggésbe hozásával és a tört értékekre való interpolálással a szorzás és osztás problémáját összeadásra és kivonásra lehet redukálni. Ehhez Napier olyan bázist választott, amely nagyon közel áll az 1-hez, és csak 1/107-gyel tér el tőle. Az így kapott geometriai sorozat tehát sűrű értékkészletet eredményezett, amely alkalmas volt egy táblázat felépítésére.
Napier 1619-es munkájában egy érdekes kinematikai modellt mutatott be a táblázatai felépítéséhez használt geometriai és aritmetikai sorozatok előállítására. Tegyük fel, hogy két részecske adott kiindulási pontokból külön vonalak mentén mozog. A részecskék ugyanabban a pillanatban, azonos sebességgel kezdenek mozogni. Az első részecske csökkenő sebességgel halad tovább, amely minden pillanatban arányos a közte és a vonal egy adott fix pontja között hátralévő távolsággal. A második részecske a kezdeti sebességével megegyező állandó sebességgel mozog. Az első részecske által az egymást követő lépésekben megtett távolságok az idő bármely szakaszában egy mértanilag csökkenő sorozatot alkotnak. A második részecske által megtett megfelelő távolságok aritmetikailag növekvő sorozatot alkotnak. Napier képes volt e modell segítségével olyan tételeket levezetni, amelyek a két sorozat közelítő értékeinek pontos határértékeit adják.
Napier kinematikai modellje jelezte, hogy a 17. század elejére a matematikusok mennyire képzettek lettek a nem egyenletes mozgás elemzésében. A korszak matematikájában gyakran megjelenő kinematikai elképzelések világos és szemléltethető eszközt biztosítottak a geometriai nagyságrendek létrehozásához. A térben mozgó részecske által követett görbe elképzelése később jelentős szerepet játszott a számtan fejlődésében.
Napier elképzeléseit Henry Briggs angol matematikus, az első oxfordi Savilian geometriai professzor vette át és dolgozta át. Briggs 1624-ben közzétette a közönséges logaritmusok, vagyis a 10-es bázissal számolt logaritmusok átfogó táblázatát. Mivel a bázis már nem volt közel az 1-hez, a táblázatot nem lehetett olyan egyszerűen megkapni, mint Napierét, ezért Briggs a véges differenciák számításával kapcsolatos technikákat dolgozott ki a bejegyzések kiszámításának megkönnyítésére. Emellett nagy számítási hatékonyságú interpolációs eljárásokat dolgozott ki a köztes értékek kiszámításához.
Svájcban a műszerész Joost Bürgi Napier-től függetlenül jutott el a logaritmusok gondolatához, bár eredményeit csak 1620-ban publikálta. Négy évvel később Marburgban megjelent egy Kepler által készített logaritmustáblázat. Bürgi és Kepler egyaránt csillagászati megfigyelők voltak, és Kepler logaritmikus táblázatokat vett fel a híres Tabulae Rudolphinae (1627; “Rudolphin táblázatok”) című művébe, a bolygómozgások csillagászati táblázataiba, amelyeket a Nap körüli elliptikus pályák feltételezésének felhasználásával vezettek le.
A Nap körüli elliptikus pályák feltételezésének felhasználásával vezették le a bolygómozgások csillagászati táblázatát.